Bestimmen Sie Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Die Differentialgleichung \( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 x} \) besitzt folgende allgemeine Lösung:
\( y(x)=\left(C_{1} x+C_{2}\right) \cdot e^{x}+e^{2 x} \)
\( \begin{array}{lllll}\text { Bestimmen } & \text { Sie die } & \text { partikuläre } & \text { Lösung } & y_{p}(x) & \text { des } & \text { Anfangswertproblems } & \text { dieser }\end{array} \) Differentialgleichung mit:
\( y(0)=3 \text { und } y^{\prime}(0)=10 \)

Answer 1

Hallo,

yp=A e^(2x)

y'p= 2A e^(2x)

y''p= 4A e^(2x)

yp , yp', yp'' eingesetzt in die DGL:

y'' -2y' +y=e^(2x)

4A e^(2x) -2(2A e^(2x)) +Ae^(2x)= e^(2x)

A e^(2x)= e^(2x)

A=1

->yp=A e^(2x) =  e^(2x)

Comments

Hi ,

nur so ?

Lg

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Ist das die ganze Aufgabe?

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ja komplett

LG

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die part. Lösung habe ich bestimmt, das ist dann alles.

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ok danach soll ich die Werte einsetzen und fertig richtig ?

\(y(0)=3 \text { und } y^{\prime}(0)=10 \)

LG

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Wenn auch die AWB Bestandteil der Aufgabe sind

muß Du die Lösung

\( y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{x} x+e^{2 x} \)

einmal ableiten und die beiden AWBs einsetzen:

\( y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{x} x+e^{2 x} \)

y'(x)= C₁ e^x +C₂ e^x(x+1) +2 e^(2x)

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y(0)=3  : 3 =C₁+1 ----->C₁=2

y'(0)=10 : 10=C₁+C₂+2 ->C₂=6

Lösung:

 \( y(x)=e^{x}\left(6 x+e^{x}+2\right) \)