Wie bekomme ich die Bestätigung der Funktion durch lösen des LGS?

Question

Text erkannt:

Bei Lärmschutzwällen an Autobahnen sind Abflussgräben an beiden Seiten des Walls erforderlich (siehe Skizze). Am Autobahnbau beteiligte Firmen arbeiten hier mit einem Profil, dass durch eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades beschrieben werden kann.
Der Wall soll \( 8 \mathrm{~m} \) breit und \( 4 \mathrm{~m} \) hoch und die Abflussgräben sollen jeweils \( 1 \mathrm{~m} \) breit sein.
a) Bestätigen Sie durch das Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems, dass das Profil des Lärmschutzwalles durch die Funktionsgleichung f mit
$$ f(x)=0,01 x^{4}-0,41 x^{2}+4 $$
beschrieben werden kann.

Problem/Ansatz

Wie bekomme ich die Bestätigung der Funktion?

Answer 1

Falls die Aufstellung eines linearen Gleichungssystems nicht verlangt ist, kommst du auf folgendem Weg schnell an das Ziel:

Nullstellenform der Parabel 4.Grades.

f(x)=a*(x-N_1)*(x-N_2)*(x-N_3)*(x-N_4)

N_1(-5|0);  N_2(-4|0);  N_3(4|0);  N_4(5|0)

f(x)=a*(x+5)*(x+4)*(x-4)*(x-5)

H(0|4)

f(0)=a*(0+5)*(0+4)*(0-4)*(0-5)=a*400

a*400=4

a=\( \frac{1}{100} \)

f(x)=\( \frac{1}{100} \)*(x+5)*(x+4)*(x-4)*(x-5)

Comments

Die allgemeine Form der Parabel 4.Grades lautet:

f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt: b und d ist Null.

f(x)=a*x^4+c*x^2+e

N_1(-5|0)

f(-5)=a*625+c*25+e

1.) 625a+25c+e=0

N_2(-4|0)

f(-4)=a*256+c*16+e

2.) 256a+16c+e=0

H(0|4)

f(0)=e

3.) e=4  in 1.) 625a+25c+4=0   in 2.)  256a+16c+4=0 → 64a+4c+1=0

Nun die beiden Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen.

---

Aber kommt bei der ersten Gleichung nicht -625 und -25 heraus?

Und im letzten Schritt muss man doch nur noch die eine Gleichung nach a Umstellen in die zweite danach packen und dann hat man doch dann a und c oder?

---

1.) 625a+25c+4=0

2.) 64a+4c+1=0→ 4c+1=-64a → c=\( \frac{-64a-1}{4} \)  in 1.)625a+25*\( \frac{-64a-1}{4} \) +4=0   →

a=\( \frac{1}{100} \)

c=-0,41

f(x)=0,01x^4-0,41x^2+4