es geht um die Lösungsmenge einer Ungleichung

Question

Aufgabe: -1/(x+1)^2< -100 für alle xeR

Problem/Ansatz: Da das eine Ungleichung ist und mir aktuell die Übung damit fehlt, sind es hier die Minuszeichen, weswegen ich hier nicht weiterkomme.

Answer 1

Wenn du beide Seiten mit der negativen Zahl (-1) multiplizierst, dreht sich das Relationszeichen um:

1/(x+1)²>100

Das gilt aber NICHT für alle xeR, sondern nur für (x+1)²<0,01.

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0<(x+1)²<0,01

Da fehlt noch etwas.

Answer 2

- 1/(x + 1)^2 < -100
- 1 < -100·(x + 1)^2
- 1/(-100) > (x + 1)^2
1/100 > (x + 1)^2
(x + 1)^2 < 1/100
-1/10 < x + 1 < 1/10
-11/10 < x < -9/10

Comments

Könntest Du mir bitte die Vorzeichen bei den jeweiligen Umformungen erklären und warum ist bei der dritten Umformung die -100 in Klammern gesetzt. Im Voraus schon Mal Danke.

Answer 3

\( \frac{1}{(x+1)^2} \) >100|*\( \frac{(x+1)^2}{100} \)

(x+1)^2<\( \frac{1}{100} \)|\( \sqrt{} \)

1.) x+1<\( \frac{1}{10} \)

x₁<-1+\( \frac{1}{10} \)=-0,9

2.) x+1>-\( \frac{1}{10} \)

x₂>-1-\( \frac{1}{10} \)=-1,1

-1,1<x<-0,9

\( \frac{1}{(x+1)^2} \) >100

Wolfram bringt folgendes als Ergebnis:

(-1,1<x<1)

(-1<x<-0,9)

Somit musst du die Polstelle bei x=-1 auch beachten.

Answer 4

-1/(x+1)^2< -100

x=-1 ist verboten, da der Nenner dann gleich Null wäre.

Mit -1 multiplizieren, Kleiner → Größer

1/(x+1)^2>100     |*Nenner  |:100

Da der Nenner nicht negativ sein kann, ändert sich das Größer-Zeichen nicht.

1/100>(x+1)^2

|x+1|<0,1

-0,1<x+1<0,1     |-1

-1,1<x<-0,9

Da x≠-1 sein muss, ist die Lösung

-1,1<x<-1 oder -1<x<-0,9