Partialbruchzerlegung durch verschiedene Beispiele

Question

Aufgabe:
Lösen Sie folgende Integrale durch Partialbruchzerlegung:

a) \( \int\limits_{0}^{\infty} \)(3x) / (x^3+3x^2-4)

b) \( \int\limits_{0}^{\infty} \)(4x-2) / (x^2-2x-63)

c) \( \int\limits_{0}^{\infty} \)(2x+1) / (x^3-6x^2+9x)

d) \( \int\limits_{0}^{\infty} \)(4x^3) / (x^3+2x^2-x-2)

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass ich die Nullstellen herausfinden muss. Mein Problem ist aber wie muss ich weiter rechnen.

Könnte mir vielleicht jemand durch die beschriebenen Aufgaben paar Beispiele vorrechnen damit ich am Ende weiß wie ich die Partialbruchzerlegung berechnen muss?

Answer 1

Hallo :-)

Parzialbruchzerlegung ist zunächst nur ein Hilfsmittel, komplizierte Brüche als Summe von einfacheren Brüchen hinzuschreiben. Das kann beim Integrieren hilfreich sein.

Zu a). Es gilt \(x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2\). Also ist hier der Ansatz

\(\frac{3x}{x^3+3x^2-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2}\)

Durch Koeffizientenvergleich bekommt man: \(A=\frac{1}{3},\quad B=\frac{-1}{3},\quad C=2\).

Also: \(\frac{3x}{x^3+3x^2-4}=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{(x+2)^2}\).

Jetzt nur noch integrieren.

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Danke für Ihre Hilfe :)

Answer 2

Hier nur einige Kontrolllösungen, die du auch hättest selber mit Wolframalpha erzeugen können

\( \frac{3 x}{x^{3}+3 x^{2}-4}=-\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{(x+2)^{2}}+\frac{1}{3(x-1)} \)

\( \frac{4 x-2}{x^{2}-2 x-63}=\frac{15}{8(x+7)}+\frac{17}{8(x-9)} \)

\( \frac{2 x+1}{x^{3}-6 x^{2}+9 x}=\frac{1}{9 x}-\frac{1}{9(x-3)}+\frac{7}{3(x-3)^{2}} \)

\( \frac{4 x^{3}}{x^{3}+2 x^{2}-x-2}=\frac{2}{x+1}-\frac{32}{3(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}+4 \)

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Danke für den Tipp, dies wusste ich aber nicht das es so eine Seite gibt.

Answer 3

Hallo,

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