Aufgabe mit Polynomdivision über Polynomringe

Question

Ich habe folgende Gleichungen:

Text erkannt:

\( f(x)=3 x^{6}+7 x^{4}+4 x^{3}+5 \)

Text erkannt:

\( g(x)=x^{4}+3 x^{3}+4 \)

Es sollen zwei Polynome q und r gesucht werden mit

Text erkannt:

\( \operatorname{deg}(r)<\operatorname{deg}(g) \)

sodass:

Text erkannt:

\( f=q g+r \)

gilt.

Dies sollen wir suchen in folgenden Polynomringen

Text erkannt:

1) \( \mathbb{R}[x] \)

Text erkannt:

2) \( \mathbb{Z}_{11}[x] \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß soweit, dass ich das mit einer Polynomdivision lösen soll aber es weicht von der Lösung ab. Wäre für einen Rechenweg für diese Aufgabe dankbar.

und wie ist das mit dem deg() gemeint und dem f = qg+r ?

Ist damit gemeint r soll einen geringeren Grad als g haben, also kleiner x^4 ?

Das soll bei der 1) rauskommen, bei der 2) hab ich keine Lösung

Text erkannt:

1) \( q=2 x^{2}-9 x+34 \)
\( r=-98 x^{3}-12 x^{2}+36 x-131 \)
\( \Rightarrow f=\left(3 x^{2}-9 x+34\right)\left(x^{4}+3 x^{3}+4\right)-98 x^{3}-12 x^{2}+36 x-131 \)

Wäre für eine Hilfestellung dankbar.

VG coffee.cup

Comments

Lösungen zum überprüfen kannst du dir hier berechnen lassen:

https://sagecell.sagemath.org/

Für ℝ[x] setze K=RR, für ℤ/11ℤ setze K=FiniteField(11)

K = FiniteField(11)
PR = PolynomialRing(K, name='x')
x = PR.gen()

f = 3*x^6+7*x^4+4*x^3+5
g = x^4+3*x^3+4

print("Quotient: ", f//g)
print("Rest: ", f%g)

Du kannst damit natürlich auch jeden einzelnen Rechenschritt separat prüfen.

Answer 1

Genau. Wir möchten das Polynom f auf eine andere Art und Weise schreiben:

Nämlich als Summe aus dem Produkt \( q\cdot g \) und einem weiteres Polynom \(r\), wobei das Restpolynom (\(r\)) von kleinerem Grad sein soll als \(g\).

Es gilt:

\(f=q \cdot g + r \)  ⇔  \(\frac{f}{g}=q+\frac{r}{g} \), d.h du machst eine ganz normale Polynomdivision und kannst dann \(q\) und \(r\) ablesen.

Grüße,
Algebravo

Comments

okay danke für die Antwort,

Also muss ich dann eine Polynomdivision f : g durchführen und ist dann

Ergebnis = q und r = Rest der Polynomdivision?

Kannst du einen Schritt der Polynomdivision vor machen damit ich mir sicher sein kann richtig zu liegen?

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Ja genau. So geht‘s!

Bei der angegebenen Lösung ist übrigens ein Fehler: q = 3x² - 9x + 34.