wie kann man ein Basis von U und W zeigen und ein Basis U+W zeigen?

Question

U =
1      1     0 
0      2     1
2      0     -1

W = Ker(A) und

A =  1  2  2

      1 1  1

wie kann man ein Basis von U und W zeigen und ein Basis U+W zeigen?

                                    

Answer 1

Hi!

Um zu zeigen, dass Vektoren eine Basis bilden, musst du zwei Dinge beweisen:

(1) Die Vektoren sind ein Erzeugendensystem des Vektorraum (hier: des Unterraums)

(Überlege: Bei U ist das klar. Warum? und: Wie kann ich den Kern einer linearen Abbildung bestimmen.)

(2) Die Vektoren, die das Erzeugendensystem bilden sind linear unabhängig.

(Wie prüft man nochmal auf lineare Unabhängigkeit?)

Wenn du das hast, melde dich nochmal. Dann schauen wir uns U+W an!

Grüße,

Connor

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir bestimmen zunächst den Vektorraum \(W\) als Kern der Matrix \(A\):

$$\mathbf A=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad W\coloneqq\operatorname{Kern}(\mathbf A)$$

Der Kern von \(\mathbf A\) enthält alle Vektoren \(\vec x=(x_1;x_2;x_3)^T\), die als Ergebnis \(\vec 0\) liefern:

$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Umformung}\\\hline1 & 2 & 2 & 0 &\\1 & 1 & 1 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & 2 & 0 &+2\cdot\text{Zeile }1\\0 & -1 & -1 & 0 &\cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1=0\\0 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow x_2+x_3=0\\\hline\hline\end{array}$$Damit haben wir alle Lösungen des Gleichungssystems$$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-x_3\\x_3\end{array}\right)=x_3\cdot\left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right)$$und eine Basis des Kerns von \(\mathbf A\) gefunden:$$W=\left<\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\right>$$Die spitzen Klammern sollen bedeuten, dass die darin enthaltenen Vektoren eine Basis des Vektorraums \(W\) bilden.

Jetzt bestimmen wir eine Basis der Bildmenge von \(U\) indem wir die linearen Abhängigkeiten der Spalten-Vektoren mittels elementarer Gauß-Operationen herausrechnen:

$$\begin{array}{rrr} & -S_1 & \\\hline1 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & -1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & -2S_3 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\\2 & -2 & -1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec u_1 & & \vec u_2 \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\2 & 0 & -1\end{array}$$Es bleiben zwei linear unabhängige Basis-Vektoren übrig:$$U=\left<\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\,;\,\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right>$$

Da der eine Basis-Vektor von \(W\) bis auf den Faktor \((-1)\) auch ein Basisvektor von \(U\) ist, ist \(W\) vollständig in \(U\) enthalten. Daher ist:$$U\cap W=W\quad\text{und}\quad U+W=U$$