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Gegeben ist die Funktion f : ℝ3  →  ℝ mit f (x,y,z) = e(x-1)^(2) + 10 arctan (y2z+x).

Berechne die Richtung v = \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) mit ιιvιι = 1 des stärksten Anstiegs von f im Punkt (1,-1,1).

Es ist \( \sqrt{6a} \) = ________       \( \sqrt{6b} \) =   _________         \( \sqrt{6c} \) = ________


Wie berechne ich das weiter?

Ich habe schon den Gradienten der Funktion ausgerechnet und die Werte eingesetzt aber weiter komme ich nicht.

x = 10 / (1+(-1)2*1)2+1 + 2e(1-1)^2(1-1)     = 2

y = 20*(-1)*1 / (1+(-1)2*1)2+1                    = -4

z = 10*(-1)^2 / (1+(-1)2*1)2+1                    = 2


Dann habe ich \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\2 \end{pmatrix} \) normiert und bekam 2\( \sqrt{6} \) heraus.

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Aloha :)

Der Gradient einer Funktion zeigt immer in Richtung des stärksten Anstiegs. Daher bestimmen wir zuerst die partiellen Ableitungen. Mit \(\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}\) erhalten wir:$$\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-1)e^{(x-1)^2}+\frac{10}{1+(y^2z+x)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{10\cdot2yz}{1+(y^2z+x)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{10\cdot y^2}{1+(y^2z+x)^2}$$und setzen die Koordinaten des Punktes \((1;-1;1)\) ein und erhalten:$$\operatorname{grad}f(1;-1;1)=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}$$Die Länge des Gradienten ist \(\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=\sqrt4\cdot\sqrt6=2\sqrt6\). Die Richtung des stärksten Anstiegs ist der normierte Gradienten:

$$\vec v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\frac{1}{2\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/\sqrt6\\-2/\sqrt6\\1/\sqrt6\end{pmatrix}$$

Wir lesen daraus ab:$$\sqrt6\cdot a=1\quad;\quad\sqrt6\cdot b=-2\quad;\quad\sqrt6\cdot c=1$$

In der Aufgabenstellung geht das Wurzelzeichen bis über die Variablen hinaus, das macht aber keinen Sinn. Prüfe mal bitte, ob du dich da vielleicht vertippt hast.

Avatar von 152 k 🚀

Dankeschön!!

Und was das Wurzelzeichen angeht, ja das stimmt habe mich vertippt..gerade nachgeschaut und es sollte \( \sqrt{6} \)a usw heißen.

Eine Frage hätte ich, man berechnet ja \( \frac{1}{2 Wurzel 6} \) * 2 usw, bei mir bekomme ich jedoch nicht die Ergebnisse, die du hast oder muss man das anderes berechnen?

Du musst die Ergebnisse noch umstellen:$$a=\frac{1}{2\sqrt6}\cdot2=\frac{1}{\sqrt6}\implies\sqrt6\cdot a=1$$

Also ich rechne das auch mit einem Rechner die \( \frac{1}{2Wurzel6} \) *  2 und ich bekomme \( \frac{Wurzel6}{6} \) heraus und nicht \( \frac{1}{Wurzel6} \) , muss man dieses Ergebnis ebenfalls irgendwie umändern ...

Das stimmt ja auch ;)$$\frac{1}{2\sqrt6}\cdot2=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{1\cdot\sqrt6}{\sqrt6\cdot\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}$$

Und wie komme ich dann bei   - \( \frac{Wurzel6}{3} \)   auf   - \( \frac{-2}{Wurzel6} \)  ?

Sorry für die vielen Fragen...

$$\frac{\sqrt6}{3}=\frac{2\cdot\sqrt6}{2\cdot3}=\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{2\cdot\cancel{\sqrt6}}{\sqrt6\cdot\cancel{\sqrt6}}=\frac{2}{\sqrt6}$$

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