Volumen von Funktion zwischen Kreisringen.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen der Funktion f(x,y)= \( \frac{1}{x^2+y^2} \) über den Ring zwischen den Kreisen mit Radius 1 und 2 um den Ursprung. Fertigen sie zunächst eine Skizze des Integrationsgebietes an.

Problem/Ansatz:

Ich habe zwar die Lösung gegeben, jedoch kann ich keinerlei Formeln für Kreisringe finden wo die Funktion eine Rolle spielt. Desweiteren habe ich keine Ahnung wie die Skizze aussehen soll.

Comments

Integral aufstellen und in Polarkoordinaten transformieren.

Answer 1

Hallo,

Setze \(r^2=x^2+y^2\), dann hast Du einen rotationssymmetrischen Körper um die \(Z\)-Achse. Der Wert von \(f(x,y)\) entspricht der Oberseite des Körpers an der Stelle \((x,y)\) bzw. \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).

Von 'oben' sieht das so aus

Und im Schnitt so

~plot~ (x>-2)*(x<-1)/x^2+(x>1)*(x<2)/x^2;[[-2.5|2.5|-1|2]] ~plot~

Integriere über die Zylinder mit Radius \(r\), Höhe \(f(r)\) und Dicke \(\text dr\). Das Volumen \(V\) des Rotationskörpers ergibt sich dann aus $$V = \int_{r=1}^2 2\pi rf(r) \,\text dr \\ \phantom{V} = \int_{r=1}^2 2\pi r \frac1{r^2} \,\text dr \\ \phantom{V} = \left. 2\pi \ln(r)\right|_{r=1}^2 \\ \phantom{V} = 2\pi \ln(2) \approx 4,36$$Gruß Werner

Comments

Vielen Dank das hilft mir sehr, habe aber noch ein par Unklarheiten: warum ist die obere Grenze des x integrals 2pi? Etwa weil es sich um einen Kreis handelt der 360 ° hat? Außerdem: warum ist das x integral bei meinem Doppelintegral das äußere? Ist das immer so? Oder ist die Reihenfolge egal? Wie kann ich mir das herleiten, dass ich x^2+y^2 = r^2 setzten kann?

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also um das verständlicher auszudrücken: meine Lösung sagt, ich soll ein Doppelintegral aufstellen: inneres ist dabei r 1-2 und das äußere ist 0-2pi, von 1/r^2 (das 1/r^2 ergibt logischerweise Sinn wenn man x^2+y^2=r^2 setzt)

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habe aber noch ein par Unklarheiten: warum ist die obere Grenze des x integrals 2pi?

Bei mir gibt es weder ein Integral über \(x\) noch eine oberer Grenze von \(2\pi\). Und wenn Dein Lösungsansatz ein Doppelintegral ist, dann lautet das womöglich$$V =\int\limits_{r=1}^2 \,\int\limits_{\varphi = 0}^{2\pi} rf(r)\,\text d\varphi\,\text dr$$

Etwa weil es sich um einen Kreis handelt der 360 ° hat?

Ja sicher. Das innere Integral ist dann schlicht$$\int\limits_{\varphi = 0}^{2\pi} rf(r)\,\text d\varphi = \left.rf(r) \varphi\right|_{\varphi = 0}^{2\pi} = 2\pi rf(r)$$da der Ausdruck \(rf(r)\) in keiner Weise von \(\varphi\) abhängt, ist das trivial.

Zum Verständnis: ein Integral ist immer eine Summe. Und bei einer Summe ist es egal in welcher Reihenfolge man die Summanden addiert. Natürlich kann man sich bei der Wahl der Reihenfolge einmal mehr und einmal weniger Arbeit machen ;-)

Ein Volumenintegral \(\int\,\text dV\) ist ist immer ein Dreifachintegral - also über die drei Dimensionen des Raums. Wenn in Deinem Fall ein Doppelintegral vorliegt, dann ist es wahrscheinlich$$V = \int_G f(r) \,\text dG$$D.h. Das Integral \(\int \,\text dz\) von \(z=0\) bis \(z=f(r)\) ist bereits gelöst, da ebenfalls trivial. Das \(G\) steht für das (2-dimensionale) Gebiet in der xy-Ebene, welches durch die beiden Kreisringe begrenzt wird.

oben im Bild habe ich versucht, das darzustellen. Die blauen Ringe begrenzen den Körper in Richtung \(r\) - also radial. Jede von diesen kleinen roten Säulen hat die Höhe \(f(r)\), die Breite \(r \,\text d\varphi\) und die Dicke \(\text dr\). D.h. die Fläche \(\text dG\) die so eine Säule in der xy-Ebene belegt ist $$\text dG = r \,\text d\varphi\,\text dr$$Setzte das in \(\int_G\) ein und Du erhältst$$V = \int_G f(r) r \,\text d\varphi\,\text dr$$Und um das Gebiet \(G\) zu erfassen, integrierst Du einmal über den Kreis \(\varphi =0\) bis \(2\pi\) und einmal über den Radius \(r=1\) bis \(2\)$$V =\int\limits_{r=1}^2 \,\int\limits_{\varphi = 0}^{2\pi} rf(r)\,\text d\varphi\,\text dr$$Frage ruhig nochmal nach, wenn noch was unklar geblieben ist.

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vielen lieben Dank erstmal. Mir ist tatsächlich noch was unklar:

warum kann ich die Grenzen nach dem ersten integral also in 1/r noch nicht einsetzen, sondern muss erst das zweite Integral bilden also ln(r)

folglich: ln(2)-ln(1)*2pi-0 ?

und warum kann ich nicht wie bei einem normalen doppelintegral vorgehen und die funktion bei \( \frac{1}{x^2+y^2} \) belassen dann nach x integrieren grenzen einsetzen, anschließend nach y integrieren neue grenzen einsetzten und gut ist?

Ich komme da auf ne andere Lösung also scheint es falsch zu sein, verstehe nur nicht warum das nicht geht.

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warum kann ich die Grenzen nach dem ersten integral also in 1/r noch nicht einsetzen, sondern muss erst das zweite Integral bilden also ln(r)

es ist mir nicht klar, was Du mit dem 'ersten Integral' meinst. Du kannst die Grenzen einsetzen wann immer Du willst. Ich hatte ja schon erwähnt, dass Du die Integrale in der Reihenfolge auch vertauschen kannst.

Bei einer Summe ist es egal, in welcher Reihenfolge die Summanden addiert werden.

und warum kann ich nicht wie bei einem normalen doppelintegral vorgehen und die funktion bei \( \frac{1}{x^2+y^2} \) belassen dann nach x integrieren grenzen einsetzen, anschließend nach y integrieren neue grenzen einsetzten ...

auch das ist Dir frei gestellt.

... und gut ist?

ganz und gar nicht gut! Das ist zwar möglich, aber eine ziemliche Rechnerei!

Ich komme da auf ne andere Lösung also scheint es falsch zu sein,

siehe Integrieren nach x oder y.