Extremwertaufgaben geben Sie die Funktion

Question

Aufgabe:Gegeben ist die Funktion

f(x,y)=(x-3)^2+2(y+2)^2-5

Überprüfen Sie die Funktion auf Extremwerte. Geben Sie ggf. an,um welche Art von Extremwert es sich handelt.

Answer 1

f(x,y)=(x-3)^2+2(y+2)^2-5

1.)\( \frac{df(x,y)}{dx} \)=2*(x-3)

2.)\( \frac{df(x,y)}{dy} \)=4*(y+2)

1.)2*(x-3)=0  →  x=3

2.)4*(y+2)=0   → y=-2

[2*(x-3)]´ =2>0→Minimum

f(3,-2)=(3-3)^2+2(-2+2)^2-5=-5

Answer 2

Aloha :)

Die Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=(x-3)^2+2(y+2)^2-5$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:
$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2(x-3)}{4(y+2)}\quad\implies\quad\binom{x}{y}=\binom{3}{-2}$$Wir haben also nur den Kandidaten \((3;-2)\) für ein Extremum.

Wir prüfen nun den Kandidaten, indem wir die Hesse-Matrix untersuchen$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\0 & 4\end{array}\right)$$Die Hesse-Matrix hat offensichtlich die beiden positiven Eigenwerte \(2\) und \(4\). Damit ist sie positiv definit und unser Kandidat ist ein (globales) Minimum.

Das Minimum ist deswegen global, weil die Hesse-Matrix gar nicht mehr von \(x\) oder \(y\) abhängt,