Aloha :)
Die Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=(x-3)^2+2(y+2)^2-5$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:
$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2(x-3)}{4(y+2)}\quad\implies\quad\binom{x}{y}=\binom{3}{-2}$$Wir haben also nur den Kandidaten \((3;-2)\) für ein Extremum.
Wir prüfen nun den Kandidaten, indem wir die Hesse-Matrix untersuchen$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\0 & 4\end{array}\right)$$Die Hesse-Matrix hat offensichtlich die beiden positiven Eigenwerte \(2\) und \(4\). Damit ist sie positiv definit und unser Kandidat ist ein (globales) Minimum.
Das Minimum ist deswegen global, weil die Hesse-Matrix gar nicht mehr von \(x\) oder \(y\) abhängt,