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Die Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=5x^3+xy+y^2-5$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:
$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{15x^2+y}{x+2y}$$Aus der 2-ten Komponente folgt sofort:\(\quad x=-2y\)
Das setzen wir in die erste Komponente ein und finden:$$0\stackrel!=15(-2y)^2+y=60y^2+y=y(60y+1)\implies y=0\;\lor\;y=-\frac1{60}$$Wir haben also zwei Kandidaten:$$K_1(0|0)\quad;\quad K_2\left(\frac1{30}\bigg|-\frac1{60}\right)$$
Wir prüfen nun die Kandidaten, indem wir die Hesse-Matrix untersuchen$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}30x & 1\\1 & 2\end{array}\right)\quad\implies$$$$H_1(0;0)=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 2\end{array}\right)\quad;\quad H_2\left(\frac1{30}\bigg|-\frac{1}{60}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)$$Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Spur, das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante. Damit können wir bei einer 2x2-Matrix die Eigenwerte schnell bestimmen:$$H_1\colon\;\lambda_1+\lambda_2=2\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-1\quad\implies\quad\lambda_1=1+\sqrt2\;;\;\lambda_2=1-\sqrt2$$$$H_2\colon\;\lambda_1+\lambda_2=3\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=1\quad\;\;\,\implies\quad\lambda_1=\frac{3+\sqrt5}{2}\;;\;\lambda_2=\frac{3-\sqrt5}{2}$$
Für \(H_1\) haben die beiden Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen. Daher ist \(H_1\) indefinit und Kandidat \(K_1\) ist ein Sattelpunkt. Für \(H_2\) sind beide Eigenwerte positiv. Daher ist \(H_2\) positiv definit und Kandidat \(K_2\) ist ein Minimum.
Zusammengefasst haben wir also:$$\text{Minimum bei }\left(\frac1{30}\bigg|-\frac1{60}\right)$$
