Beweisen Sie, dass die Zahl (p+1)^{p}-1 durch p^{2} teilbar ist.

Question

Es sei \( p \in \mathbb{P} \). Beweisen Sie, dass die Zahl \( (p+1)^{p}-1 \) durch \( p^{2} \) teilbar ist.

Answer 1

Hallo Wolfi,

"einfach" ausmultiplizieren macht es deutlich (s. binomischer Lehrsatz)$$\begin{aligned} (p+1)^p - 1 &= \sum\limits_{k=0}^p{p\choose k}p^{p-k} \space -1 \\ &= p^p + p \cdot p^{p-1} + {p\choose 2} p^{p-2} + \dots + {p\choose n-2}p^{2} + p \cdot p + 1 - 1 \end{aligned}$$Die \(1\) am Ende verschwindet und in jedem Summanden ist der Faktor \(p^2\) enthalten - wegen $${p \choose 1} = {p \choose p-1} = p$$ Folglich ist der Ausdruck durch \(p^2\) teilbar.

Gruß Werner

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vielen dank.