Wie berechnet man eine Determinante - Bestimme det(B)

Question

Aufgabe:

Bestimme det(B)

\( \begin{pmatrix} 4 & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand anhand von dem Beispiel erklären, wie man eine Determinante berechnet?

Vielen Dank schonmal :)!

Comments

Du kannst mit elementaren Zeilenumformungen arbeiten.

Subtrahiere z.B. die 3. Zeile 2mal von der ersten, 3mal von der zweiten und 3mal von der dritten. Zeilenaddition ändert den Wert der Determinante nicht

Dann kannst du mit Laplace nach der ersten Spalte entwickeln. 3 der 4 Einträge sind jetzt = 0 s.d. nur eine 3x3 Determinante übrig bleibt. Die kannst du z.B. mit der Regel von Sarrus berechnen.

Ergebnisse kannst du hier selbst vergleichen:

https://matrixcalc.org/de/

es zeigt sogar mögliche Rechenwege an wie ich gerade festgestellt habe. (Diese sind aber aus menschlicher Sicht nicht immer optimal)

Answer 1

Zuerst versuchst du, möglichst viele Nulen durch erlaubte Umformungen zu bekommen.

Dann entwickelst du nach einer Zeile oder Spalte.

\(\det\begin{pmatrix} 4 & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)

1. Zeile - 3. Zeile

2. Zeile - 4. Zeile

\(=\det\begin{pmatrix} 2 & 0& -2& 0\\ 0 & 2& 0 & -2\\ 2 & -3 & 1 & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)

4. Spalte +2.Spalte

\(=\det\begin{pmatrix} 2 & 0& -2& 0\\ 0 & 2& 0 & 0\\ 2 & -3 & 1 & 3 \\ 6 & -1 & -3 & 3 \end{pmatrix} \)

Nach der zweiten Zeile entwickeln:

\(=2\det\begin{pmatrix} 2 & -2& 0\\ 2  & 1 & 3 \\ 6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \)

\( =2\cdot(6-36+18+12)    \)

\(=0\)

:-)

Comments

danke ich habe es jetzt umgestellt und habe in der letzten Zeile eine Nullzeile und wenn die vorhanden ist gilt det(A)=0

wäre jetzt aber keine Nullzeile vorhanden, was ist dann die Determinante

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was ist dann die Determinante

Meinst du damit die Bedeutung oder die Berechnung der Determinante?

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Wie ich die Determinante dann berechnen würde z.B. ei einer 4x4 Matrix

ich weiß dass es bei einer 2x2 einfach a11*a22-a12*a21 ist

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Du entwickelst nach einer Zeile oder Spalte.

Wenn du nach der ersten Zeile entwickelst, notierst du a11, streichst in Gedanken die 1. Spalte und 1. Zeile und berechnest die dann entstehende 3x3-Determinante, die du mit a11 multiplizierst.

Das machst du mit jeder Zahl der ersten Zeile. Beachte dabei das jeweilige Vorzeichen.

Du hast dann also vier 3x3-Determinanten zu bestimmen.

Daher ist es sinnvoll, möglichst viele Nullen in der Matrix zu haben, damit der Rechenaufwand kleiner wird.

:-)

Answer 2

Ich würde 4.Zeile minus 2.Zeile nehmen.

Und dann nach der 4. Entwickeln.