Zeigen Sie, dass sum (-1)^(n-1) * x^(n-1), n=1 to infinity = 1/1+x für |x| < 1

Question

Aufgabe:

Wie kann ich zeigen, dass

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}x^{n-1}} \) = \( \frac{1}{1+x} \) für |x| < 1.

Problem/Ansatz:

Ich stehe momentan auf dem Schlauch

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die geometrische Reihe allgemein:$$S_N\;:\!=\sum\limits_{n=0}^N q^n\quad;\quad q\ne1$$multiplizieren \(S_N\) mit \(q\) und subtrahieren das Ergebnis von \(S_N\):$$S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^N q^n-q\cdot\sum\limits_{n=0}^N q^n=\sum\limits_{n=0}^N q^n-\sum\limits_{n=0}^N q^{n+1}$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\left(q^0+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=0}^{N-1}q^{n+1}+q^{N+1}\right)$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\left(1+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{N}q^{n}+q^{N+1}\right)$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=1-q^{N+1}$$$$\Longrightarrow\quad(1-q)\cdot S_N=1-q^{N+1}$$$$\Longrightarrow\quad S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$$

Für \(N\to\infty\) haben wir also:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1$$Damit ist in diesem konkreten Fall für \(|x|<1\):$$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^{n}=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$$

Answer 2

Hallo

kennst du die geometrische Reihe? wenn nicht lass sie dir in wiki zeigen , hier ist q=-x, der Beweis für die summe auch in wiki

Gruß lul

Answer 3

Moinsen

Das ist die geometrische reihe. Mach eine Indexverschiebung, sodass dann du bei n=0 beginnst. Dann verschwindet die -1 in den beiden Exponenten. schreibe dann (-x)^n und schon kannst du die geometrische Reihe anwenden