Newton Verfahren mit f(x) = x^2 - 2 und x_1 = 1

Question

Aufgabe:

x_n+1 = x_n - \( \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)

Zeigen Sie, dass für f(x) = x² - 2 und x₁ = 1 die Folge x_n konvergiert und \( \lim\limits_{n\to\infty} x_n\) =\( \sqrt{2} \)

Problem/Ansatz:

ich habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten, könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Hallo,

Die Iteration im Newton-Verfahren ist$$\begin{aligned} x_{n+1}&= x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} &&|\,f(x)=x^2-2,\quad f'(x)=2x\\x_{n+1}&= x_n - \frac{x_n^2-2}{2x_n}  \\ &= \frac{x_n^2+2}{2x_n} \end{aligned}$$wenn Du mit \(x_1=1\) beginnst, so ist \(x_2 = 3/2 \gt \sqrt2\).

Substituiert man nun \(x_n = \sqrt 2 + \epsilon_n\), so erhält man$$\begin{aligned} x_{n+1} &= \frac{4+2\epsilon_n\sqrt 2 + \epsilon_n^2}{2\sqrt 2  +2\epsilon_n} \\&= \frac{\sqrt2\left(2\sqrt2+2\epsilon_n\right) + \epsilon_n^2}{2\sqrt 2  +2\epsilon_n} \\&= \sqrt 2  +\frac{\epsilon_n^2}{2\sqrt 2  +2\epsilon_n}\\\implies \epsilon_{n+1}&= \underbrace{\frac{\epsilon_n^2}{2\sqrt 2  +2\epsilon_n} \lt \frac{\epsilon_n^2}{2\epsilon_n}}_{\text{für}\space \epsilon_n \gt 0} = \frac 12 \epsilon_n \lt \epsilon_n \end{aligned}$$Das (positive) \(\epsilon\) wird also immer kleiner. D.h. errreicht die Folge einen Wert mit \(x_n \ge \sqrt 2\), so ist sie ab hier monoton fallend. Und ihr Grenzwert ist \(x=\sqrt 2\).

Gruß Werner

Answer 2

x(n+1) = xn - (xn^2 - 2)/(2·xn) = 0.5·xn + 1/xn

Probier mal zu zeigen, dass

xn < x(n+1) = 0.5·xn + 1/xn < √ 2 für xn < √ 2

Comments

danke für die Antwort.

Die Formel für die Folge selber hatte ich auch schon, jedoch tue ich mich hier schwer zu zeigen das die Folge auch konvergiert und das der Grenzwert \( \sqrt{2} \) ist

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Zeige halt zunächst das was ich oben genannt habe. Das ausgehend von einem xn < √2 was 1 ja ist der Nachfolger x(n+1) immer größer als xn ist aber auch wieder kleiner als √2 ist,

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x₂ = \( \frac{3}{2} \)  ist doch aber zum Beispiel gar nicht <\( \sqrt{2} \) ?