Aufgabe:
Das Vektorfeld $$F:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}^2$$ ist definiert durch
$$F(x,y)=\left(\frac{x-y}{x^2+y^2}, \frac{x+y}{x^2+y^2}\right)^\text{t}$$.
a) Zeige, dass F die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
b) Zeige, dass F keine Potentialfunktion hat.
Ansatz:
Damit die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist muss gelten:
$$ \frac{\partial F_1}{\partial x_2}= \frac{\partial F_2}{\partial x_1} $$
Für den obigen Ausdruck ergibt sich somit
$$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{y^2-2xy-x^2}{\left(y^2+x^2\right)^2}$$
und
$$\frac{\partial F_2}{\partial x}=-\frac{x^2+2yx-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$$
Somit ist die Integrabilitätsbedinung erfüllt.
b)
Es muss geprüft werden ob die Rotation des Vektorfelds verschwindet, also ob gilt $$\text{rot}\overrightarrow{f}(\overrightarrow{r})=0$$. Falls dies der Fall ist gibt es ein Potential.
Also muss berechnet werden
$$\text{rot}\overrightarrow{f}(\overrightarrow{r})=\nabla\cdot F $$
$$\text{rot}\overrightarrow{f}(\overrightarrow{r})=\left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c} \frac{x-y}{x^2+y^2}\\ \frac{x+y}{x^2+y^2}\\ \end{array} \right), $$ wobei sich hier ergibt:
$$\frac{\partial}{\partial x}\cdot \frac{x+y}{x^2+y^2}- \frac{\partial}{\partial y}\cdot \frac{x-y}{x^2+y^2}$$
Es ergibt sich:
$$-\frac{x^2-2yx-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{y^2-2xy-x^2}{\left(y^2+x^2\right)^2},$$
sodass es ja eine Potentialfunktion hat. Was mache ich hier falsch?
