Aloha :)
Die Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt, wenn die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:
$$\operatorname{rot}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\frac{ay}{(x-y)^2} \\\frac{2x}{(x-y)^2 }+1\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\partial_x\left(\frac{2x}{(x-y)^2}\right)-\partial_y\left(\frac{ay}{(x-y)^2}\right)\end{pmatrix}$$Damit auch die z-Komponente der Rotation verschwindet, muss gelten:
$$\left.\partial_x\left(\frac{2x}{(x-y)^2}\right)=\partial_y\left(\frac{ay}{(x-y)^2}\right)\quad\right|\;\text{Quotientenregel}$$$$\left.\frac{2(x-y)^2-2x\cdot2(x-y)}{(x-y)^4}=\frac{a(x-y)^2+ay\cdot2(x-y)}{(x-y)^4}\quad\right|\;\cdot(x-y)^4$$$$\left.2(x-y)^2-2x\cdot2(x-y)=a(x-y)^2+ay\cdot2(x-y)\quad\right|\;:2(x-y)$$$$\left.(x-y)-2x=\frac{a}{2}(x-y)+ay=\frac{a}{2}\left[(x-y)+2y\right]\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.-(x+y)=\frac{a}{2}(x+y)\quad\right|\;\cdot\frac{2}{x+y}$$$$a=-2$$
