Mengenoperation beweisen, Teilmenge, Komplement

Question

Hallo, kann mir jemand den Beweis erklären für:

1. A ⊆ B⇔ B^c⊆A^c  

2. A\B=A∩B^c

B^c  heißt ja Komplement von B (das Gleiche gilt auch für A). Aber ich habe leider keinen Ansatz für beide Aufgaben.

A⊆B heißt ja, dass A in B enthalten ist. Und A\B ist ja, dass ein Element bspw.: x in A enthalten ist aber nicht in B.

Answer 1

1.

        \(\begin{aligned} & A\subseteq B\\  \iff & \forall x:x\in A\to x\in B\\  \iff & \forall x:x\notin A\vee x\in B\\  \iff & \forall x:x\in A^{\complement}\vee x\in B\\  \iff & \forall x:x\in A^{\complement}\vee x\notin B^{\complement}\\  \iff & \forall x:x\notin B^{\complement}\vee x\in A^{\complement}\\  \iff & \forall x:x\in B^{\complement}\to x\in A^{\complement}\\  \iff & B^{\complement}\subseteq A^{\complement} \end{aligned}\)

2.

        \(\begin{aligned} & A\setminus B\\ =\ & \left\{ x|x\in A\wedge x\notin B\right\} \\ =\ & \left\{ x|x\in A\wedge x\in B^{\complement}\right\} \\ =\ & A\cap B^{\complement} \end{aligned}\)