Wie ist die Richtungsableitung in Richtung des Vektors?

Question

Wir betrachten eine differenzierbare Abbildung \(\vec f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) mit

$$\vec f′(x,y)=\begin{pmatrix} 4x & -5 \\ y & x \end{pmatrix}$$
Berechnen Sie die Richtungsableitung (a;b) von \(\vec f\) an der Stelle (5,10) in Richtung des Vektors \(\begin{pmatrix} -\frac{4}{5}\\\frac{3}{5} \end{pmatrix}\)

Könnte mir jemand da weiterhelfen? Wie muss ich vorgehen? Bedanke mich im Voraus.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie berechne ich die Richtungableitung?

Stichworte: richtungsableitung

Wir betrachten eine differenzierbare Abbildung \( \vec{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit

$$ \vec{f}^{\prime}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} 4 x & -5 \\ y & x \end{array}\right) . $$
Berechnen Sie die Richtungsableitung \( \left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right) \) von \( \vec{f} \) an der Stelle \( (5,10) \) in Richtung des Vektors \( \left(\begin{array}{c}-\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5}\end{array}\right) \).

---

Ich bin zwar nicht diejenige die diesen Post mit dem Link https://www.mathelounge.de/860790 erstellt hat, aber Danke für den Hinweis!

---

Sehen nun beide Fragen (Auch das "Duplikat") exakt gleich aus?

Wenn nicht: Zu welcher Version passt die Antwort besser?

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst nur die Jacobi-Matrix \(f'(x;y)\) an der Stelle \((5;10)\) auszuwerten und mit dem Richtungsvektor \(\vec v\), der bereits auf die Länge \(1\) normiert ist, damit zu multiplizieren:

$$D_{\vec v}(5;10)=f'(5;10)\cdot\vec v=\begin{pmatrix}20 & -5\\10 & 5\end{pmatrix}\binom{-\frac45}{\frac35}=\binom{-19}{-5}$$

Comments

oh.. danke für die Hilfe. schönen abend noch.