Aufgabe zu Thema Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

1. Seien ~a,~b ∈ R^4 und sei ~a ⊗~b definiert als

~a ⊗ ~b = a1 ∗ (b1 − b2) + b2 ∗ (a1 + a2) − b3(a4 − a3) + a4(b4 + b3)

(∗ ist hierbei die gewöhnliche Multiplikation von reellen Zahlen und a1, · · · , a4 bzw.b1, · · · , b4 sind die Koordinaten von ~a bzw. ~b). Stimmen ⊗ und das klassische Skalarprodukt überein, d.h. gilt ¨ ~a ⊗~b = ~a ·
~b? Begründen Sie Ihre Antwort; ¨

2. Geben Sie eine Möglichkeit an, um den Winkel zwischen zwei Vektoren ~a,~b aus dem R^3 zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Verstehe die Aufgabe nicht so ganz, kann mir da jemand helfen?

PS: ~ steht für einen Vektor in Richtung rechts

Answer 1

1.

a1 (b1 − b2) + b2 (a1 + a2) − b3 (a4 − a3) + a4 (b4 + b3) = (a1 * b1) + (a2 * b2) + (a3 * b3) + (a4 * b4)

also das standardskalarprodukt.

2. Def Skalarprodukt

a b = |a| |b| cos(α)

was soll das sein: PS: ~ steht für einen Vektor in Richtung rechts?

Liefere eine Def. für rechts....

Comments

Das beispielsweise ~a ein Vektor mit dem Pfeil in Richtung rechts ist

---

ach so \\( \vec{a} \\)

\( \vec{a} \)

\\ nur einfach

Answer 2

Hallo Robert,

Willkommen in der Mathelounge.

Stimmen ⊗ und das klassische Skalarprodukt überein

Multipliziere die Definition von \(\otimes\) doch einfach aus:$$\vec a \otimes \vec b =\quad \quad |\, \vec a,\vec b \in \mathbb R^4\\\phantom{=}a_1\cdot(b_1-b_2)+b_2\cdot(a_1+a_2)-b_3(a_4-a_3)+a_4(b_4+b_3) \\ =a_1b_1 - a_1b_2 + a_1b_2 + a_2b_2 -a_4b_3+a_3b_3+a_4b_4+a_4b_3\\ =a_1b_1 \underbrace{- a_1b_2 + a_1b_2}_{=0} + a_2b_2 -\cancel{a_4b_3}+a_3b_3+a_4b_4+\cancel{a_4b_3}\\ = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4\\ = \sum a_ib_i =\left<\vec a,\,\vec b\right> = \vec a\cdot \vec b$$(je nachdem welche Schreibweise Du für das Skalarprodukt bevorzugst) 

D.h. \(\vec a \otimes \vec b\) ist identisch mit dem Skalarprodukt von \(\vec a\) und \(\vec b\).

Geben Sie eine Möglichkeit an, um den Winkel zwischen zwei Vektoren ~a,~b aus dem R³ zu berechnen.

ganz klassisch: wenn \(\alpha\) der Winkel ist, der durch die Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) eingeschlossen ist. dann gilt$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha) \\\implies \alpha = \arccos\left( \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\right)$$Gruß Werner