Wie berechne ich das Integral dieser Aufgabe?

Question

Gegeben sei die Menge \( D=\mathbb{R}^{3} \backslash\left\{(x, 0,0)^{T} \mid x \in \mathbb{R}^{3}\right\} \), das Vektorfeld
$$ \vec{v}: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x^{2}+z^{2}+y z \\ \frac{y}{y^{2}+z^{2}}+x z \\ \frac{z}{y^{2}+z^{2}}+x y+2 x z \end{array}\right) \text { , } $$
das Skalarfeld
$$ u: D \rightarrow \mathbb{R} \quad u(x, y, z)=-\frac{x^{3}}{3}-x z^{2}-x y z-\frac{1}{2} \ln \left(y^{2}+z^{2}\right) $$
und die Kurve
$$ \vec{\gamma}:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}\right) . $$
Weiterhin gelte \( -\operatorname{grad} u=\vec{v} \)
Berechnen Sie \( \int \limits_{\vec{\gamma}} \vec{v} \vec{d} s= \)

Kann mir jemand den Rechenweg dieser Aufgabe zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenschaft \(\vec v=-\operatorname{grad}u=-\frac{\partial u}{\partial\vec r}\) ist sehr nützlich, weil wir uns damit die Integration zur Berechnung des Wegintegrals erheblich vereinfachen können:$$E=\int\limits_{\gamma}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{\gamma}-\frac{\partial u}{\partial\vec r}\,d\vec r=-\int_\gamma du=\left[-u\right]_{\gamma_1}^{\gamma_2}=-u(\gamma_2)+u(\gamma_1)$$Wir brauchen also nur den Startpunkt \(\gamma_1\) und den Endpunkt \(\gamma_2\) des Weges in die Funktion \(u\) einzusetzen:

$$\gamma_1=\begin{pmatrix}\cos(-\pi)\\\cos(-\pi)\\\sin(-\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\gamma_2=\begin{pmatrix}\cos(\pi)\\\cos(\pi)\\\sin(\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

Da Start- und Endpunkt identisch sind, es sich also um einen geschlossenen Weg handelt, erhalten wir für das gesuchte Integral:$$E=-u(\gamma_2)+u(\gamma_1)=-u(-1;-1;0)+u(-1;-1;0)=0$$

Comments

Wie bist du jetzt auf  \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) gekommen, habe das nicht so verstanden

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Der Parameter \(t\) für den Weg liegt im Intervall \([-\pi;\pi]\). Der Startpunkt ist also bei \(t=-\pi\) und der Endpunkt ist bei \(t=\pi\). Wenn du diese beiden \(t\)-Werte in \(\vec\gamma(t)\) einsetzt, bekommst du die Koordinaten von Start- und Endpunkt.

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Ahhhh ok, und für u jeweils x,y,z =  -1,-1,0 einsetzen oder?

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Ja, so ist es. Aber du kannst dir sogar das Einsetzen in die Funktion \(u\) sparen. Weil obere Grenze \(\vec\gamma_2\) und untere Grenze \(\vec\gamma_1\) gleich sind (der Weg ist geschlossen), kommen natürlich auch dieselben Funktionswerte raus, sodass$$-u(\vec \gamma_2)+u(\vec \gamma_1)=0$$

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Ich sitze an der selben Aufgabe aber komme nicht wenn ich die Werte einsetze auf 0, ist es nicht nach einsetzen, so  -\( \frac{-1^3}{3} \) -(-1)*0²-(-1)*(-1)*0-\( \frac{1}{2} \) ln(-1²+0²) oder habe ich das falsch verstanden? :/

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Habe mir die Aufgabe mal gerade wieder angesehen und bekomme ebenso keine 0 raus, vlt ist etwas an der Rechnung falsch?

@Tschakabumba, wie bist du eigentlich auf 0 gekommen?

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Start- und Endpunkt der Kurve sind gleich, denn es gilt ja:$$\vec \gamma_2=\vec \gamma_1$$Am Ende der Integration erhalten wir$$-u(\vec \gamma_2)+u(\vec \gamma_1)$$Weil die beiden Argumente gleich sind, müssen auch die Funktionswerte gleich sein. Der erst Funktionswert hat ein negatives Vorzeichen \((-u(\vec\gamma_2))\) der zweite Funktionswert hat ein positives Vorzeichen \(u(\vec\gamma_1)\). Das kompensiert sich zu Null.

Answer 2

Hallo

ja kann jemand!

1. die kurve in v einsetzen, dann γ'(t|dt= =ds.

das skalarprodukt v(γ)'γ'(t|dt integrieren  von -pi bis pi

Gruß lul