Bestimmen Sie zunächst den Definitionsbereich und berechnen Sie das Integral.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 10: Rotationskörper
Die durch \( f(x)=\sqrt{-6+5 x-x^{2}} \) gegebene Kurve rotiert um die \( x \)-Achse. Es soll das Rotationsvolumen des entstandenen Körpers berechnet werden.

a) Bestimmen Sie zunächst den Definitionsbereich von \( f: D=[a ; b] \).

b) Berechnen Sie anschließend das Integral \( V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f(x))^{2} d x \).
Der Wert des Integrals entspricht dem Rotationsvolumen.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Definitionbereich D:

-6+5x-x^2 >=0

x^2-5x+6 <=0

(x-3)(x-2) <=0 , nach Vieta

1.Fall:=

x-3 >=0 u. x-2<= 0

x>=3 u, x<= 2 (entfällt)

2.Fall.

x<=3 u. x>=2

-> 2<=x<=3 -> L = [2;3] = D

Answer 2

a)  \( -6+5 x-x^{2} \ge 0\)

<=> \( -(x-2)(x-3) \ge 0\)

==>  Def.bereich = [2;3]

b) \( V=\pi \cdot \int \limits_{2}^{3} ( -6+5 x-x^{2} ) d x \)

      \(=\pi \cdot [  -6x+2,5 x^2- \frac{1}{3}x^{3} ]_2^3 d x \)

         \(=\pi \cdot \frac{1}{6} =  \frac{\pi}{6}\)