Wie bestimme ich die Parameter a,b so, sodass das Vektorfeld ein Vektorpotenzial besitzt?

Question

Bestimmen Sie die Parameter \( a, b \in \mathbb{R} \) so, dass das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
$$ \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x^{2}+x y \\ -2 x y+y+a y^{2} \\ b z \end{array}\right) $$
ein Vektorpotential besitzt.
Dann gilt \( a= \)        und \( b= \)

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(\vec v\) ein Vektorpotential \(\vec A\) besitzt, gilt:$$\vec v=\operatorname{rot}\vec A$$Daher muss \(\vec v\) ein Rotationsfeld sein. Da die Divergenz eines Feldes genau dann verschwindet, wenn dieses Feld ein Rotationsfeld ist, muss für die Existenz eines solchen Potentials also die Divergenz von \(\vec v\) verschwinden:

$$0\stackrel!=\operatorname{div}\vec v=\left(2x+y\right)+\left(-2x+1+2ay\right)+b=y+1+2ay+b=y(1+2a)+(1+b)$$Da diese Forderung für alle Punkte \((x;y;z)\) erfüllt sein muss, müssen beide Klammern zu null werden:$$1+2a=0\implies a=-\frac12\quad;\quad1+b=0\implies b=-1$$

Comments

\(0\stackrel!=\operatorname{div}\vec v=\left(2x+y\right)+\left(-2x+1+2ay\right)+b=y+1+2ay+b=y(1+2a)+(1+b)\)

hast du (2x+y)+(-2x+1+2ay) vereinfacht, sodass du y(1+2a)+(1+b) herausbekommen hast ?

und wie kamst du schlussendlich auf 1/2 und 0, also von 1+2a zu 1/2 genauso für 1+b ?

---

Ja genau, ich habe alle Terme, die den Faktor \(y\) enthalten zusammengefasst:$$0\stackrel!=y\cdot(1+2a)+(1+b)$$Dieser Ausdruck muss für alle \(y\in\mathbb R\) zu null werden.

Aus \(y=0\) folgt:$$0\stackrel!=0\cdot(1+2a)+(1+b)=1+b\implies b=-1$$Aus \(y=1\) folgt dann weiter:$$0\stackrel!=1\cdot(1+2a)+1+\underbrace{(-1)}_{=b}=1+2a\implies a=-\frac12$$

---

eins habe ich jetzt nicht richtig verstanden, die Gleichung, wenn man die berechnet bekommt man 1+b heraus und wie berechnet man jetzt b, sodass es -1 ist?

---

Die Divergenz muss ja null sein. Das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen beschreibt eine Forderung.

$$\boxed{0}\stackrel!=0\cdot(1+2a)+(1+b)=\boxed{1+b}\quad\implies\quad b=-1$$

---

Ahh okay, und aus y wird 1, weil das Ergebnis vorher -1 war?

Sorry für die ganzen Fragen

---

Aus \(y=0\) folgte \(b=-1\). Wenn du nun irgendein anderes \(y\ne0\) wählst, muss gelten:$$0\stackrel!=y\cdot(1+2a)+(1+\underbrace{b}_{=-1})=y\cdot(1+2a)$$Da \(y\ne 0\) ist können wir die Gleichung durch \(y\) dividieren:$$0=1+2a$$Und daraus folgt dann, dass \(a=-\frac12\) sein muss.

Ich habe oben nicht irgendein \(y\ne0\) gewählt, sondern speziell \(y=1\). Die Rechnung führt für jedes \(y\ne0\) zu dem Ergebnis, dass \(a=-\frac12\) gelten muss.

---

Gut zu wissen, Dankeeee dir!!!!