Aloha :)
Wir sollen eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\) optimieren:$$f(x;y)=-1+3x+5y\quad;\quad g(x;y)=2x^2+4y^2=2$$
Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Das heißt, es gibt einen sog. Lagrange-Parameter \(\lambda\ne0\), sodass:
$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}{f(x;y)}\implies\binom{3}{5}=\lambda\binom{4x}{8y}$$Wir dividieren die Gleichung für die zweite Koordinaten durch die Gleichung für die erste Koordinate:$$\frac{\lambda\,8y}{\lambda\,4x}=\frac53\implies \frac{2y}{x}=\frac{5}{3}\implies y=\frac56\,x$$
Dieses Ergebnis setzen wir in die Nebenbedingung ein:
$$2\stackrel!=2x^2+4y^2=2x^2+\frac{100}{36}x^2=\frac{172}{36}\,x^2=\frac{43}{9}\,x^2\implies x^2=\frac{18}{43}\implies x=\pm\sqrt{\frac{18}{43}}$$
Mit \(y=\frac56\,x=\pm\sqrt{\frac{25}{36}\cdot\frac{18}{43}}=\pm\sqrt{\frac{25}{86}}\) haben wir also 2 mögliche Kandidaten für Extremstellen:
$$K_1\left(\sqrt{\frac{18}{43}}\,\bigg|\,\sqrt{\frac{25}{86}}\right)\quad;\quad K_2\left(-\sqrt{\frac{18}{43}}\,\bigg|\,\sqrt{-\frac{25}{86}}\right)$$
