Aloha :)
Das Integrationsgebiet auf dem wir Rumlaufen wird beschränkt durch vier Rahmenbedingungen:$$y=x\quad;\quad y=x^2+1\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-4;4]$$Da \(x\in[0;1]\) gilt, ist die Gerade \(y=x\) eine untere und \(y=x^2+1\) eine obere Grenze für \(y\):$$x\le y\le x^2+1$$Wegen \(x\in[0;1]\) gilt dann insbesondere \(y\in[0;2]\), sodass die Forderung \(y\in[-4;4]\) ebenfalls erfüllt ist. Unsere Integrationsgrenzen lauten daher:$$0\le x\le 1\quad;\quad x\le y\le x^2+1$$
Da die Integrationsgrenzen für \(dy\) von \(x\) abhängen, müssen wir zuerst über \(dy\) integrieren, dann die Grenzen einsetzen und danach über \(dx\) integrieren. Formal sieht das so aus:
$$I=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=x}^{x^2+1}xy\,dx\,dy=\int\limits_{0}^1x\cdot\left(\int\limits_{x}^{x^2+1}y\,dy\right)dx=\int\limits_0^1x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x}^{x^2+1}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac x2\left((x^2+1)^2-x^2\right)dx=\int\limits_0^1\frac x2\left(x^4+x^2+1\right)dx=\int\limits_0^1\frac 12\left(x^5+x^3+x\right)dx$$$$\phantom{I}=\frac12\left[\frac{x^6}{6}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac16+\frac14+\frac12\right)=\frac{1}{2}\left(\frac2{12}+\frac3{12}+\frac6{12}\right)=\frac{11}{24}$$
