Wie berechne ich das Integral xydxdy?

Question

Die Menge $B \subset \mathbb{R}^{2}$ bezeichne das Gebiet begrenzt durch die Gerade $x=y$ sowie durch die Kurve $x^{2}-y+1=0$ und geschnitten mit dem Rechteck $\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,-4 \leq y \leq 4\right\}$
Berechnen Sie $\iint x y d x d y=$

Kann mir da jemand helfen?

Comments

Zeichnen:

Also $0\le x \le 1$ und $x \le y \le x^2 + 1$

Damit kannst du das Integral gemäß Fubini-Tonelli direkt in ein Doppelintegral umschreiben.

Answer 1

Aloha :)

Das Integrationsgebiet auf dem wir Rumlaufen wird beschränkt durch vier Rahmenbedingungen:$$y=x\quad;\quad y=x^2+1\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-4;4]$$Da $x\in[0;1]$ gilt, ist die Gerade $y=x$ eine untere und $y=x^2+1$ eine obere Grenze für $y$:$$x\le y\le x^2+1$$Wegen $x\in[0;1]$ gilt dann insbesondere $y\in[0;2]$, sodass die Forderung $y\in[-4;4]$ ebenfalls erfüllt ist. Unsere Integrationsgrenzen lauten daher:$$0\le x\le 1\quad;\quad x\le y\le x^2+1$$

Da die Integrationsgrenzen für $dy$ von $x$ abhängen, müssen wir zuerst über $dy$ integrieren, dann die Grenzen einsetzen und danach über $dx$ integrieren. Formal sieht das so aus:

$$I=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=x}^{x^2+1}xy\,dx\,dy=\int\limits_{0}^1x\cdot\left(\int\limits_{x}^{x^2+1}y\,dy\right)dx=\int\limits_0^1x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x}^{x^2+1}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac x2\left((x^2+1)^2-x^2\right)dx=\int\limits_0^1\frac x2\left(x^4+x^2+1\right)dx=\int\limits_0^1\frac 12\left(x^5+x^3+x\right)dx$$$$\phantom{I}=\frac12\left[\frac{x^6}{6}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac16+\frac14+\frac12\right)=\frac{1}{2}\left(\frac2{12}+\frac3{12}+\frac6{12}\right)=\frac{11}{24}$$

Comments

Wie bist du jetzt genau auf y=x und y= x²+1?

Durch umstellen der Funktion : x²-y+1 ?

Also, wenn ja, dann verstehe ich die y=x²+1 aber nicht die y=x

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Ja genau, durch Umstellen.$$x^2-y+1=0\implies y=x^2+1$$$$x=y\implies y=x$$Zwischen diesen beiden Funktionen liegt für $x\in[0;1]$ das Gebiet mit$$x\le y\le x^2+1$$

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und woher kommt aber das x, wenn man vorher x²+1 hatte ...

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Das Gebiet wird begrenzt durch die Gerade $\boxed{x=y}$ sowie durch die Kurve $\boxed{x^2-y+1=0}$. Zwischen diesen beiden Funktionen bewegt sich $y$:$$x\le y\le x^2+1$$

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Ahhh ok, jetzt verstehe ich das. Vielen Dank!