Hallo,
ich gehe davon aus, dass um die X-Achse rotiert werden soll.
Schneidet man den Rotationskörper senkrecht zur Drehachse in kreisrunde Scheiben, so hat eine Scheibe an der Position \(x\) den Radius \(y(x)\). Mit der infinitisimal kleinen Scheibendicke \(\text dx\) ist das Volumen \(\text dV\) einer Scheibe (Grundfläche mal Höhe)$$\text dV = \pi y^2(x)\,\text dx$$summiert man das Ganze, so ergibt sich das Volumen \(V = \int\,\text dV\) des Rotationskörpers. Dann noch die Integrationsgrenzen \(x=1\) bis \(x=6\) hinzufügen gibt dann$$\begin{aligned} V &= \int_{x=1}^6 \pi y^2(x)\, \text dx \\&= \int_{x=1}^6 \pi (4x^2-2x+2)^2\, \text dx \\&= \pi \int_{x=1}^6 16x^4-16x^3+20x^2-8x+4\,\text dx \\&= \pi\left[\frac{16}{5}x^5 -4x^4 + \frac{20}3x^3 -4x^2+4x\right]_{1}^6 \\&= \pi \cdot \frac{63040}3 \approx 66015\end{aligned}$$so sieht (eine Hälfte) des Rotationskörper im Schnitt aus (stark skaliert!)
~plot~ (4x^2-2x+2)*(x>1)*(x<6);[[-1|8|-2|140]] ~plot~
