Wie bestimme ich a und g(x)?

Question

Gegeben sei eine stetige Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \).
Bestimmen Sie \( a \) und \( g(x) \), sodass
$$ \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x $$
gilt.
Dann ist \( a= \)          und \( g(x)= \)

Wie bestimme ich a und g(x)?

Comments

Kann mir jemand bitte einen richtigen Rechenweg für diese Aufgabe zeigen :)

Answer 1

\(\int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x \)

Ist schnell getippt-> bitte Rechenwegkontrolle
\( \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x \)
\( \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{3} f(x, y) \cdot d x \cdot y=\int \limits_{0}^{3}[y]_{0}^{\frac{y}{2}} \cdot f(x, y) \cdot d x=\int \limits_{0}^{3} \frac{y}{2} \cdot d x f(x, y)=f(x, y) \frac{y}{2} \cdot[x]_{0}^{3}= \)
\( =\frac{3}{2} x y \cdot f(x, y) \)
\( \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x=\int \limits_{0}^{a} f(x, y) d y \cdot x=\int \limits_{0}^{a} f(x, y) d y \cdot[x]_{g(x)}^{3}=f(x, y) \int \limits_{0}^{a} f(x, y) d y \cdot[3-g(x)]= \)
\( =f(x, y)[3-g(x)] \cdot[y]_{0}^{a}=f(x, y) \cdot[3-g(x)] \cdot a \)
\( \frac{3}{2} x y \cdot f(x, y)=f(x, y) \cdot[3-g(x)] \cdot a \)
\( \frac{3}{2} x y=[3-g(x)] \cdot a \)
\( a=\frac{3 x y}{2[3-g(x)]} \)
Nun noch nach \( g(x) \) auflösen.

Comments

In den Lösungen steht das a= \( \frac{3}{2} \) und g(x) = 2x ist, wenn man nach g(x) auflöst bekomme ich 3 heraus oder berechne ich das falsch?

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Da würde mich mal eine Erklärung interessieren, zum Beispiel für das erste Gleichheitszeichen? Jedenfalls steht links eine Zahl (das Ergebnis für das Integral) und rechts ein Objekt, das von y abhängt. Das passt schon syntaktisch nicht.

Gruß Mathhilf

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Hat sich überschnitten. Mein Kommentar bezog sich auf die Antwort von Moliets

Die von Dir, Cookie, angegebene Lösung ist richtig, also a=3/2 und g(x)=2x.

Gruß Mathhilf

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Wie kommt man nun auf diese Werte?

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Würde mich mal auch interessieren, habe die aus der Lösung

Answer 2

Hallo,

es handelt sich um ein Doppelintegral über einen Bereich D im \(\mathbb{R}^2\). Das linke Integral beschreibt den Bereich durch die Angabe:

$$(x,y) \in D \iff 0 \leq y \leq 3 \text{  und } 0 \leq x \leq y/2$$

Wenn man sich das skizziert, ist das ein Dreieck mit den Ecken (0,0), (3/2,2), (0,3). Man kann dieses Dreieck alternativ beschreiben, indem man zunächst das Intervall für x bestimmt und dann y in Abhängigkeit von x beschreibt:

$$(x,y) \in D \iff 0 \leq x \leq 3/2 \text{  und } 2x \leq y \leq 3$$

Dabei ist der Hauptpunkt, dass eben \(x \leq y/2\) äquivalent ist zu \(2x \leq y\).

Das rechte Integral ist die Umsetzung zu der 2. Beschreibung von D.

Gruß Mathhilf