vektorielle Kurvenintegral berechnen

Question

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) und das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) seien gegeben durch \( f(x, y, z)=2 e^{x z} y^{2}+\sin (x z) y^{5}, \quad \vec{v}=\operatorname{grad} f \)
a) Gegeben sei die Kurve \( \vec{x}_{1}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \vec{x}_{1}(t)=\left[\begin{array}{c}t \\ 1+t \\ 1-t\end{array}\right] \)
Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral von \( \vec{v} \) über \( \vec{x}_{1} \) :
\( \int \limits_{\vec{x}_{1}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{d s}= \)


b) Sei \( \vec{x}_{2} \) eine Parametrisierung des geschlossenen Einheitskreises in der \( x-y \) -Ebene, so dass der Kreis mathematisch positiv durchlaufen wird. Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral von \( \vec{v} \) über \( \vec{x}_{2} \) :
\( \int \limits_{\vec{z}_{2}} \vec{v} \cdot \vec{d} s= \)

Wie berechne ich das?

Answer 1

Aloha :)

a) Da \(\vec v=\operatorname{grad}f\) ist, hast du mit \(f\) ein Potential des Vektorfeldes gegeben und kannst die Integrationsgrenzen direkt in die Funktion \(f\) einsetzen. Formal heißt das:

$$I_a=\int\limits_{\vec x_1}\vec v(x;y;z)\,d\vec r=f(\vec x_1(1))-f(\vec x_1(0))=f(1;2;0)-f(0;1;1)$$$$\phantom{I_a}=\left(2e^0\cdot 2^2+\sin(0)\cdot2^5\right)-\left(2e^0\cdot1^2+\sin(0)\cdot1^5\right)=8-2=6$$

b) Die konkrete Parametrisierung des Weges \(\vec x_2(t)\) ist hier unwichtig. Das Entscheidende ist, dass der Weg \(\vec x_2(t)\) geschlossen ist. Dadurch können wir nämlich dein Integralsatz von Stokes anwenden. Mit \(F(\vec x_2)\) bezeichnen wir eine Fläche, die von \(\vec x_2(t)\) umschlossen wird, also z.B. der in der Aufgabenstellung genannte Einheitskreis, dann ist:$$I_b=\oint\limits_{\vec x_2}\vec v\,d\vec r=\iint\limits_{F(\vec x_2)}\operatorname{rot}\vec v\,d\vec f=\iint\limits_{F(\vec x_2)}\operatorname{rot}\left(\operatorname{grad} f\right)\,d\vec f=\iint\limits_{F(\vec x_2)}\vec0\cdot d\vec f=0$$Hier haben wir ausgenutzt, dass die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet.

Answer 2

Hallo

 1. Schritt : grad f bestimmen,

 2. Schritt:  v(x1) bestimmen.

3.  Schritt :ds= x1' dt.

4. Schritt:  Skalarprodukt v(x1)*x1' bestimmen.

5.Schritt : das Skalarprodukt von t =0 bos t=1 integrieren.

Gruß lul