Wie kommt man auf die Lösung bei der quadratischen Gleichung

Question

Aufgabe:

x² + \( \frac{b}{2} \) * \( \sqrt[3]{2b} \)  =  \(\sqrt[3]{4b^2} \) x + \( \frac{1}{2} \) *\( \sqrt[3]{4(a-d)} \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die vorgegebene Lösung von \( \sqrt[3]{\frac{b^2}{2}} \) + \( \sqrt[6]{\frac{a-d}{2}} \) und \( \sqrt[3]{\frac{b^2}{2}} \) - \( \sqrt[6]{\frac{a-d}{2}} \)

Mein Ansatz:

x² - \( \sqrt[3]{4b^2} \) x + \( \frac{b}{2} \) *\( \sqrt[3]{2b} \) - \( \frac{1}{2} \) *\( \sqrt[3]{4(a-d)} \) = 0

x²  - \( \sqrt[3]{4b^2} \) + \( \sqrt[3]{\frac{2b^4}{8}} \)  - \( \sqrt[3]{\frac{4(a-d}{8}} \) = 0

x_1;2 = \( \frac{\sqrt[3]{4b^2}}{2} \) ± 

Comments

Vielen Dank für die ausführlichen Rechenwege!

Answer 1

Aloha :)

Ich würde zuerst alle Terme auf eine Seite bringen:$$x^2-\underbrace{\sqrt[3]{4b^2}}_{\eqqcolon A}\cdot x+\underbrace{\left(\frac b2\sqrt[3]{2b}-\frac12\sqrt[3]{4(a-d)}\right)}_{\eqqcolon B}=0$$Dann die pq-Formel anwenden:$$x_{1;2}=\frac{A}{2}\pm\sqrt{\left(\frac A2\right)^2-B}$$Dann den ersten Summanden vereinfachen:$$\frac{A}{2}=\frac12\sqrt[3]{4b^2}=\frac1{\sqrt[3]{8}}\sqrt[3]{4b^2}=\sqrt[3]{\frac{4b^2}{8}}=\sqrt[3]{\frac{b^2}{2}}$$Anschließend die Wurzel vereinfachen:

$$\phantom{=}\sqrt{\left(\frac A2\right)^2-B}=\sqrt{\left(\sqrt[3]{\frac{b^2}{2}}\right)^2-\left(\frac b2\sqrt[3]{2b}-\frac12\sqrt[3]{4(a-d)}\right)}$$$$=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{b^2}{2}}\cdot\sqrt[3]{\frac{b^2}{2}}-\left(\sqrt[3]{\frac {b^3}8}\cdot\sqrt[3]{2b}-\sqrt[3]{\frac18}\cdot\sqrt[3]{4(a-d)}\right)}$$$$=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{b^2}{2}\cdot\frac{b^2}{2}}-\left(\sqrt[3]{\frac {b^3}8\cdot 2b}-\sqrt[3]{\frac{4(a-d)}{8}}\right)}$$$$=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{b^4}{4}}-\sqrt[3]{\frac {b^4}4}+\sqrt[3]{\frac{a-d}{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a-d}{2}}}=\sqrt[6]{\frac{a-d}{2}}$$Und das Ergebnis in seiner vollen Pracht hinschreiben ;)$$x_{1;2}=\sqrt[3]{\frac{b^2}2}\pm\sqrt[6]{\frac{a-d}{2}}$$

Answer 2

\( x^{2}+\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}=\sqrt[3]{4 b^{2}} \cdot x+\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)} \)

\( x^{2}-\sqrt[3]{4 b^{2}} \cdot x=\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b} \)

\( \left(x-\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}+\left(\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2} \mid \mathrm{V} \)

1. \( ) x-\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}+\left(\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2}} \)

\( x_{1}=\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}+\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}+\left(\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2}} \)

2. \( x-\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}=-\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}+\left(\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2}} \)

\( x_{2}=\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}-\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4(a-d)}-\frac{b}{2} \cdot \sqrt[3]{2 b}+\left(\frac{\sqrt[3]{4 b^{2}}}{2}\right)^{2}} \)