Gegeben der Graph der Funktion f (x) = sin (a.x); Gesucht "a" und ein Extremum?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der Graph der Funktion f (x) = sin (a.x) für 0  ≤  x ≤  2π und a > 0 (a, x ꞓ R).
Für welche positiven Werte von "a" besitzt der Graph der Funktion f (x) = sin (a.x) im Intervall
0 <  x <  2π  genau ein Extremum?

Problem/Ansatz:

Trigonometrische Funktion

Answer 1

Für 0,25 < a < 0,75 weil \(sin (ax)\) die Periode \(\frac{2\pi}{a}\) hat.

Answer 2

Hallo,

man kann das ausrechnen, oder in Desmos eingeben und etwas probieren. So wie dies

Ausrechnen kannst Du das Extremum \(x_e\) wie gehabt$$f(x)= \sin(ax) \\ f'(x) = a\cos(ax) \to 0 \\ \begin{aligned}\implies ax_{e} &= \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb N_0 \quad \text{da}\space a,\,x_e \gt 0\\ x_e &= \frac1a\left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right)\end{aligned}$$und nun soll gelten, dass es nur eine Lösung im Intervall \(x_e \in (0;\,2\pi)\) geben soll. Und dies ist die Lösung für \(k=0\). Daraus folgt dann, die Lösung für \(k=0\) muss im Intervall und die Lösung für \(k=1\) muss außerhalb liegen:$$\frac{\pi}{2a} \lt 2\pi \implies a \gt \frac 14 \\ \frac1a\left( \frac\pi2 + \pi\right) \ge 2\pi \implies a \le \frac34$$Folglich muss \(a\) im Intervall von \(a\in (0,25;\,0,75]\) liegen.

Gruß Werner

Comments

Sehr geehrter Hr. Werner
Erstens: Vielen herzlichen Dank für Ihre Mühe und rasche Antwort auch mit Graph ,,.
Zweitens: Soweit auf ¼  ≤  a ≤  ¾  bin ich auch zuvor schon graphisch alleine gekommen; aber wie genau bestimmt man „a“ (= positive Amplitude) rechnerisch?
Das ist mein Problem(!?)!!!
Drittens: Ihre Extrema – Periodizität – Lösung (-en) sind leider nicht korrekt, da „sin(x)“ & „cos(x)“ die „Periode 2π“ haben; also
I. XEn = π/a ( ½  + 2.n)
II. XEn = π/a (3/2 + 2.n)
Über eine mathematisch rechnerische Lösung, um "a" genau zu bestimmen, würde ich mich sehr freuen.
Freundliche Grüsse

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aber wie genau bestimmt man „a“ (= positive Amplitude) rechnerisch?

Die rechnerische Herleitung der Grenzen für \(a\) steht doch in meiner Antwort. Ich habe das \(x_e\) für das Extremum berechnet und die Bedingung ist, dass es im Intervall \((0;\,2\pi)\) genau eine Lösung gibt:$$0 \lt x_e = \frac 1a\left(\frac\pi2 + k\pi\right) \lt 2\pi, \quad k \in \mathbb N_0$$(Berechnung s.o.)

Lese Dir die Antwort bitte noch mal durch und falls etwas unklar ist, so stelle bitte konkrete Fragen.

Drittens: Ihre Extrema – Periodizität – Lösung (-en) sind leider nicht korrekt, da „sin(x)“ & „cos(x)“ die „Periode 2π“ haben

SInus und Cosinus haben die Periode \(2\pi\) - das ist richtig. Aber im Abstand von \(\pi\) tritt jeweils ein Nulldurchgang bzw. ein Extremum auf. Daher muss es $$x_e = \frac1a\left( \frac\pi2 + k\pi\right)$$und nicht \(\dots +2k\pi\) heißen.

I. XEn = π/a ( ½  + 2.n)
II. XEn = π/a (3/2 + 2.n)

richtig! Fasse beide zusammen und Du bekommst meine Lösung.