Berechne ∫ af(x) dx Integral ausrechnen

Question

Aufgabe:

Sei
A = {(x1, x2) ∈ R: x2 > 0, 1 ≤ (x1)^2+(x2)^2≤ 3}

und f(x)= e^{x1^2}*e^{x2^2}

^{Berechne ∫} _a^{f(x) dx}

Problem/Ansatz:

Die Bedingung 1 ≤ (x1)^2+(x2)^2≤ 3 drückt aus, dass (x1, x2) auf einem Kreisring mit innerem Radius 1
und äußerem Radius √3 liegt, die Bedingung x2 > 0, dass es nur ein halber Kreisring oberhalb der x1-Achse
ist. In Polarkoordinaten bedeutet das, dass 1 ≤ r ≤√3 und 0 ≤ ϕ ≤ π. Außerdem ist f(x) = e^x1^2*e^x2^2 = e^{(x1+x2)^2}  Wir verwenden den Transformationssatz mit Polarkoordinaten und erhalten

∫_a f(x)dx = ∫ (π bis 0) ∫ ( √3 bis 1 ) e^{r^2}r dr dΦ

wir berechne ich nun das Integral aus schritt für schritt ich weiß durch substitution muss man auf Stammfkt kommen aber wie macht man das genau

Answer 1

Hallo,

die Menge beschreibt einen halben Kreisring mit innerem Radius \(r_1=1\) und äußerem Radius \(r_2=\sqrt{3}\). Es gilt mit Hilfe von Polarkoordinanten:$$\iint\limits_{A}f(x)\, \mathrm{d}A=\int \limits_{0}^{\pi}\int \limits_{1}^{\sqrt{3}}e^{r^2}r\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{2}e(e^2-1)\pi$$ Du kannst das Integral über Substitution lösen, in dem du \(u:=r^2\) setzt, dann hast du \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=2r \Rightarrow \mathrm{d}r=\frac{1}{2r}\mathrm{d}u\). Eingesetzt hast du dann:$$\int \limits_{0}^{\pi}\int \limits_{1}^{\sqrt{3}}e^{r^2}r\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{\pi}\int \limits_{1}^{3}e^{u}\, \mathrm{d}u\mathrm{d}\varphi$$

Comments

WIe löse ich das durch die partielle Integration. Könntest du mir kurz den Rechenschritt geben

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Sorry, das mit der partiellen Integration ist viel aufwendiger (*) als die Substitution, die hier recht naheliegend ist, da die innere Funktion \(r^2\) abgeleitet als Faktor im Integranden steht (ohne Beachtung des Vorfaktors)

(*) du bräuchtest hier immer noch das gaußsche Fehlerintegral.