Beweis: (Z,•) ist ein Monoid

Question

ich muss zeigen, dass (ℤ,•) ein Monoid ist, aber leider verstehe ich nicht genau, was für Eigenschaften ich zeigen muss. Muss ich die Abgeschlossenheit, die Assoziativität und das Neutralelement zeigen? Könnte mir einer bitte einen Ansatz geben?

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Was ist • für eine Verknüpfung? Die muss definiert werden.

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Achso schuldigung, das soll die Multiplikation sein.

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Wie habt ihr in der Vorlesung die ganzen Zahlen konstruiert?

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Also wir haben leider kein Kapitel zu den ganzen Zahlen, aber die ganzen Zahlen sind sowohl positive aber auch negative Zahlen. Und wir haben gesagt, dass zum Beispiel (Z,+) eine Gruppe sei

Answer 1

Ein Monoid ist ein Tripel \( (M, \star, e) \) bestehend aus einer Menge \( M \), einer Abbildung \( \star: M \times M \to M \) und einem Element \( e \in M \), sodass \( (M, \star) \) eine Halbgruppe mit neutralem Element \( e \) ist. Es gilt also:

1 - \( \forall a,b,c \in M: (a \star b) \star c = a \star (b \star c)\)

2 - \( \forall a \in M: e \star a = a = a \star e \).

In deinem Fall ist \( M = \mathbb{Z} \) und \( \star = \cdot \). Nimm dir für den Beweis der ersten Eigenschaft also drei beliebige Elemente \(z_1, z_2, z_3 \) aus \( \mathbb{Z} \) und zeige die Assoziativität. Für die zweite Eigenschaft musst du dir Überlegen, was das neutrale Element hier ist - das ist gar nicht so schwer. Zeige dann mit einem beliebigen \( z \in \mathbb{Z} \) die oben genannte zweite Eigenschaft.

Sollte noch etwas unklar sein, frag' gerne nochmal nach.

Lg

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Okay, dankeschön!