Verknüpfungen, Assoziativgesetz, neutrales Element

Question

benötige einen Denkanstoß bei folgender Aufgabe:

Sei ◊ irgendeine assoziative Verknüpfung (d.h. eine Verknüpfung, welche das Assoziativgesetz erfüllt) auf einer Menge M. Seien n, n' ∈ M neutrale Elemente bzgl. ◊. Beweisen Sie n=n' in einer Zeile.

Das Assoziativgesetz gilt doch nur bei Addition und Multiplikation. Bei Addition ist das neutrale Element 0 und bei der Multiplikation 1. Soweit bin ich bisher gekommen, aber was jetzt?!

LG meghan16

Answer 1

Du denkst viel zu engstirnig.

Außer \(+\) und \(\cdot\) gibt es noch viele andere Verknüpfungen. Auch Assoziativität gibt es bei vielen anderen Strukturen. Ein neutrales Element ist auch nicht "0" oder "1", sondern es gilt die Regel:

Für jedes \(a \in M \) muss gelten \(a \circ n = a\), dann ist \(n\) ein neutrales Element.

Du sollst nun beweisen, dass in einer Gruppe nur ein einziges und nicht mehrere neutrale Elemente existieren.

Grüße,

M.B.

Comments

Bei welchen Verknüpfungen außer Addition und Multiplikation gilt denn noch das Assoziativgesetz? Und welche anderen neutralen Elemente gibt es noch?

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Du kannst Strukturen bilden aus:

Matrizen, Folgen, Reihen, Funktionen, Polynomen, Vektoren, Metriken, komplexen Zahlen, Quaternionen, Permutationen, Integralen und vielen tausend anderen.

Unabhängig von vielen bereits in der Mathematik existierenden und verwendeten, kannst Du Dir selbst noch beliebig weitere definieren.

Grüße,

M.B.

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aber bei Matrizen gilt das Assoziativgesetz doch auch nur wenn eine Einheitsmatrix dabei ist. Ich darf doch dann gar nicht auf alle beziehen.

Jetzt verstehe ich aber immer noch wie ich die Aufgabe lösen soll

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was hat denn das Assoziativgesetz mit der Einheitsmatrix zu tun?

Grüße,

M.B.

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Jetzt habe ich das mit dem Kommutativgesetz durcheinandergeschmissen ...

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und was hat das Kommutativgesetz mit der Einheitsmatrix zu tun?

Grüße,

M.B.

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na dass ich die Einheitsmatrix von beiden Seiten auf multiplizieren kann, ohne das ich das Ergebnis ändere oder etwa nicht? Jetzt bin ich gerade total verwirrt...

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das wäre aber ein Zeichen von Neutralität (nur mathematisch, nicht politisch).

Grüße,

M.B.

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Ich steig aus. Entweder reden wir einander vorbei oder ich bin gerade nicht mehr fähig dass hier richtig zu verarbeiten