Zeigen Sie, dass die Verknupfung ¨ ∗ assoziativ ist, es zu ihr ein neutrales Element

Question

Aufgabe:

Sei G eine Menge mit assoziativer Verknupfung ¨ ·. Sei e neutrales Element bezuglich ¨ ·,
d.h. fur jedes ¨ g ∈ G gilt e · g = g · e = g. Auf der Potenzmenge P(G) von G sei die
Verknupfung

P(G) × P(G) → P(G)
(A, B) → A ∗ B := {g ∈ G|∃a ∈ A, b ∈ B : g = a · b}

definiert. Zeigen Sie, dass die Verknupfung ¨ ∗ assoziativ ist, es zu ihr ein neutrales Element
gibt und bestimmen Sie dieses!

Problem/Ansatz:

Ich bin eig gerade verwirrt und stehe auf dem Schlauch vielleicht kann mir ja einer helfen:

Answer 1

assoziativ: Seien also A,B,C Teilmengen von G.

==>  (A ∗ B)*C = {g ∈ G|∃a ∈ A, b ∈ B : g = a · b} *C

                      = {g ∈ G|∃x ∈ A*B, y ∈ C : g = x · y}

Nun ist aber x∈ A*B, also gibt es a ∈ A, b ∈ B : x= a · b

                 Also gilt für jedes z∈ (A ∗ B)*C

                  ∃a ∈ A, b ∈ B, y ∈ C mit z=(a · b)  · y.

Da (G, · ) eine Gruppe ist, gilt also auch  z=a · (b · y ).

Und somit gibt es a ∈ A und c∈ B*C (nämlich c=b · y) mit z=a· c , also

ist z∈ A ∗ (B*C).

neutrales El. muss ein E sein mit A*E=E*A=A für alle A∈P(G).

Betrachte E:={e} , wobei e das neutrale El. von (G, · ) ist.

==>   A*E =  {g ∈ G|∃a ∈ A, b ∈ E : g = a · b}

Da in E aber nur das Element e ist, folgt

         A*E =  {g ∈ G|∃a ∈ A, e ∈ E : g = a · e}

Aber a · e = e , also ist das

                  A*E =  {g ∈ G|∃a ∈ A   g = a } = A