Ein Monoid ist ein Tripel \( (M, \star, e) \) bestehend aus einer Menge \( M \), einer Abbildung \( \star: M \times M \to M \) und einem Element \( e \in M \), sodass \( (M, \star) \) eine Halbgruppe mit neutralem Element \( e \) ist. Es gilt also:
1 - \( \forall a,b,c \in M: (a \star b) \star c = a \star (b \star c)\)
2 - \( \forall a \in M: e \star a = a = a \star e \).
In deinem Fall ist \( M = \mathbb{Z} \) und \( \star = \cdot \). Nimm dir für den Beweis der ersten Eigenschaft also drei beliebige Elemente \(z_1, z_2, z_3 \) aus \( \mathbb{Z} \) und zeige die Assoziativität. Für die zweite Eigenschaft musst du dir Überlegen, was das neutrale Element hier ist - das ist gar nicht so schwer. Zeige dann mit einem beliebigen \( z \in \mathbb{Z} \) die oben genannte zweite Eigenschaft.
Sollte noch etwas unklar sein, frag' gerne nochmal nach.
Lg