Zeigen, dass Funktion assoziativ ist

Question

Aufgabe:

Auf der Menge \( \mathrm{Q}^{2} \) wird eine Verknüpfung \( *: \mathbb{Q}^{2} \times \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathrm{Q}^{2} \) durch \( \left(a_{1}, b_{1}\right) *\left(a_{2}, b_{2}\right):=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) \) definiert. Offensichtlich ist sie kommutativ (d.h. \( \left.\left(a_{1}, b_{1}\right) *\left(a_{2}, b_{2}\right)=\left(a_{2}, b_{2}\right) *\left(a_{1}, b_{1}\right)\right) \). Zeigen Sie durch Rechnungen, dass sie assoziativ ist und dass \( (1,0) \) ein neutrales Element ist, und finden Sie für jedes \( (a, b) \neq(0,0) \) ein (bezüglich \( (1,0) \) ) inverses Element.

Bemerkung: Daraus folgt, dass \( \left(Q^{2}-\{0\}, *\right) \) eine kommutative Gruppe ist.

Zeige durch eine Rechnung, dass die Funktion assoziativ ist.

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich, dass die Funktion assoziativ ist ?

Answer 1

Bestimme \(\left(\left(a_1,a_2\right)*\left(b_1,b_2\right)\right)*\left(c_1,c_2\right)\).

Bestimme \(\left(a_1,a_2\right)*\left(\left(b_1,b_2\right)*\left(c_1,c_2\right)\right)\).

Comments

Wie soll ich das bestimmen?

Kannst du mir helfen?

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Wie soll ich das bestimmen?

Indem du auf die Definition von \(*\) zurückgreifst.

\(\begin{aligned} & \left(\left(a_{1},a_{2}\right)*\left(b_{1},b_{2}\right)\right)*\left(c_{1},c_{2}\right)\\ = & \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)*\left(c_{1},c_{2}\right)\\ = & \left(\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}\right)c_{1}-\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)c_{2},\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}\right)c_{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)c_{2}\right) \end{aligned}\)

Noch ein paar mal ausmultiplizieren. Dann mit

        \(\left(a_1,a_2\right)*\left(\left(b_1,b_2\right)*\left(c_1,c_2\right)\right)\)

das gleiche machen und feststellen dass du das gleiche bekommst.

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Kannst du mir erklären, warum ich nur einmal mit c1 multipliziere und 3 mal mit c2 ?

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Komme da echt nicht weiter..