Zeigen Sie, dass ≅ eine Äquivalenzrelation auf ℕ definiert.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass ≅ eine Äquivalenzrelation auf ℕ definiert.

a≅b: <=> ∃n,m ∈ ℕ\{0}: aⁿ = b^m

Problem/Ansatz: Ist meine Lösung so richtig?

reflexiv: Sei a ∈ ℕ\ {0}. Dann gilt: a¹ = a¹. (Darf ich hier einfach 1 als n auswählen, oder muss ich es allgemein zeigen?)

symmetrisch: Seien a,b ∈ ℕ\ {0} mit a≅b, d.h. a^m = bⁿ. ∃m,n ∈ ℕ\ {0}: aⁿ = b^m. b^m = aⁿ. => b ≅ a. (Hier verstehe ich nicht os ganz, was genau haben wir hier denn gezeigt? wir haben im Vergleich zur Aussage, aus ∃n,m ∈ ℕ\{0} das hier: ∃m,n ∈ ℕ\ {0} gemacht. Aber ob ich n,m oder m,n schreibe, ist doch egal)

reflexiv: Seien a,b,c ∈ ℕ\ {0} mit a≅b und b≅c, d.h. a^m = b^n und b^n = c^m. D.h. ∃k,l ∈ ℕ\ {0}: a^k = b^l und ∃m,n ∈ ℕ\ {0}: b^m = c^n (Wie komme ich hier auf den dick markierten Teil?)

a^(n*m) = (a^k)^m = (b^l)^m = (b^m)^l = (c^n)^l (das Grundprinzip verstehe ich hier, wie man allerdings auf den Anfang kommt, ist mir ein Rätsel. Fehlt da ein Zwischenschritt?)

=> c^(n*l) => a≅c => ≅ ist eine Äquivalenzrelation.

Und wie kriege ich die Äquivalenzklasse von 8 heraus?

Liebe Grüße

Answer 1

Zu der Reflexivität: Du solltest zeigen, dass es für jedes \(a\in \mathbb{N}\) Exponenten \(n,m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) gibt mit \(a^n = a^m\). Hier hast du \(n=m=1\) ausgewählt (das reicht an sich schon).

Du hättest natürlich auch jedes andere \(n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\) mit \(m=n\) auswählen können (z.B. \(n=m=2\)).

Zu der Symmetrie: In der Tat reicht die Begründung, dass aus \(a^n=b^m\) für \(n,m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) wegen der Symmetrie der Gleichheit auch \(b^m=a^n\) folgt, d.h. auch hier existieren natürliche Exponenten ungleich \(0\), die den Bedingungen der Relation genügen (genau das war zu zeigen).

Zu der Transitivität: Aus \(a\cong b\) und \(b\cong c\) folgt erst einmal nur, dass \(n,m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) mit \(a^n=b^m\) und \(p,q\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) mit \(b^{p}=c^{q}\) existieren.

Jetzt möchtest du zeigen, dass \(r,s\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) mit \(a^r = c^s\) existieren.

Idee: Bringe die beiden Gleichungen "über das \(b\) zusammen", da dies die einzige Variable ist, die in beiden Gleichungen vorkommt ("die einzige Verbindung der Gleichungen").

Du weißt, dass \(b^m=a^n\) und \(b^p=c^q\). Dann ist \((b^m)^p\overset{1.Gleichung}{=}(a^n)^p\) und gleichermaßen folgt über die Potenzgesetze \((b^m)^p=(b^p)^m\overset{2.Gleichung}{=}(c^q)^m\).

Zusammengefasst erhältst du: \(a^{n\cdot p} = (a^n)^p = (b^m)^p = (b^p)^m = (c^q)^m = c^{q\cdot m}\), also existieren auch hier natürliche Exponenten \(r=n\cdot p\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) und \(s=q\cdot m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) mit \(a^r = a^{n\cdot p} = c^{q\cdot m} = c^s\), d.h. \(a\cong c\).

Nachtrag zu der Äquivalenzklasse:

Die Äquivalenzklasse \([8]_{\cong}\) beschreibt alle natürlichen Zahlen, sodass diese mit \(8\) in Relation stehen, d.h.

\([8]_{\cong}=\{x\in \mathbb{N}| \ x\cong 8\} = \{x\in \mathbb{N}| \ \exists n,m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}: \ x^n=8^m\}\).

Du kannst dir überlegen, dass in der Äquivalenzklasse genau alle Zweierpotenzen (außer die \(1\)) enthalten sind, bzw. \([8]_{\cong}=\{2^k| \ k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}\).

Der Teil \([8]_{\cong}\supseteq\{2^k| \ k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}\) folgt schnell, da \((2^k)^3 = (2^3)^k = 8^k\) für jedes \(k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\).

Der Teil \([8]_{\cong}\subseteq \{2^k| \ k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}\) folgt daraus, dass der einzige Primfaktor aus \(8\) die \(2\) ist.

Aus der Tatsache, dass \(n,m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\) mit \(x^n = 8^m\) für ein \(x\in \mathbb{N}\) existieren, folgt:

1.) \(x>1\), denn \(0^n=0\neq 8^m\) und \(1^n=1\neq 8^m\) wegen \(m>0\).

2.) \(x\) kann in seiner Primfaktorzerlegung keinen von \(2\) verschiedenen Primfaktor haben, da der einzige Primfaktor von \(8\), und jeder derer Potenzen, die \(2\) ist.

Zusammen mit \(1.)\) und \((2^k)^3=2^{3k}=(2^3)^k=8^k\) für jedes natürliche \(k>0\) bedeutet das, die einzigen Elemente \(x\) in der Äquivalenzklasse sind \(x=2^k>1\).

Damit folgt \([8]_{\cong}\subseteq \{2^k| \ k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}\).