Menge der Punkte in der Tangentialebene eines Hyperboloids bestimmen.

Question

Aufgabe:

Man betrachte das Hyperboloid H : z = \( \sqrt{1+x^2+y^2} \)

Bestimme die Menge der Punkte in denen die Tangentialebene TqH parallel zur Geraden G = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) ist.

Problem/Ansatz:

Habe versucht die Tangentialebene auszurechnen aber ich kann die Tangentialebene ohne einen gegebenen Punkt gar nicht ausrechnen, wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Allgemein gilt, der Normalenvektor \(\vec n\) einer Fläche im Raum, die durch \(z=f(x,y)\) definiert ist, ist:$$\vec n = \begin{pmatrix} f_x\\ f_y\\ -1\end{pmatrix}$$Wobei \(f_x\) und \(f_y\) die 1.Ableitung von \(f\) nach \(x\) bzw. \(y\) ist. Also in diesem konkreten Fall:$$\vec n =\begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac xz\\ \frac yz\\ -1\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix} x\\ y\\ -z\end{pmatrix}$$Die Tangentialebene ist genau dann parallel zur Geraden \(G\) wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf \(\vec n\) steht - d.h. das Skalarprodukt der beiden muss \(=0\) sein:$$ \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \vec n = x+y = 0 $$

Das trifft auf alle Punkt des Hyperboloiden zu, die in der Ebene \(y=-x\) liegen. Es ist also eine Hyperbel im Raum. Formal sähe das so:$$\mathbb L = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3:\space z=\sqrt{1+2x^2},\, y=-x\}$$statt \( z=\sqrt{1+2x^2}\) könnte man auch \(z^2-2x^2=1,\space z\gt 0\) schreiben.

Gruß Werner

Comments

Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen (Differentialgleichung Anwendungsbeispiel: Hookesche Gesetz). Mit und ohne Zahlen eingesetzt.

Wäre nett, wenn du mir weiterhelfen könntest

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Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen (Differentialgleichung Anwendungsbeispiel: Hookesche Gesetz).

Tschakabumba hat Dir doch schon vor drei Tagen geantwortet. Wozu genau hast Du noch Fragen?

Tipp: gib doch bitte beim nächsten Mal gleich den Link auf Deine Frage mit an. Das erspart die Sucherei!

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https://www.mathelounge.de/862217/bestimmung-schwingungsgleichung-skizze-schwingungsverlaufs

Answer 2

Hallo,

die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion \(z=f(x,y)\) im Punkt \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) ist gegeben durch das Taylorpolynom erster Ordnung .

Mit \(f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}\) ergibt sich also:$$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$ Diese Ebene hat den Normalenvektor \(\vec{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\). Die Tangentialebene ist parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Gerade steht. Ineinander liegen können die beiden nicht, weil die Gerade in der x-y-Ebene lebt, wohingegen \(f(x,y)\geq 1\) für alle \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).

Es muss also $$\left \langle \vec{n},\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}\right \rangle =f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)=0 \Leftrightarrow f_x(x_0,y_0)=-f_y(x_0,y_0)$$ gelten, d. h.:$$\frac{x_0}{\sqrt{1+x_0^2+y_0^2}}=-\frac{y_0}{\sqrt{1+x_0^2+y_0^2}} \Leftrightarrow x_0=-y_0$$