Menge der Punkte in der Tangentialebene eines Hyperboloids bestimmen.

Question

Aufgabe:

Man betrachte das Hyperboloid H : z = $\sqrt{1+x^2+y^2}$

Bestimme die Menge der Punkte in denen die Tangentialebene TqH parallel zur Geraden G = $\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ ist.

Problem/Ansatz:

Habe versucht die Tangentialebene auszurechnen aber ich kann die Tangentialebene ohne einen gegebenen Punkt gar nicht ausrechnen, wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Allgemein gilt, der Normalenvektor $\vec n$ einer Fläche im Raum, die durch $z=f(x,y)$ definiert ist, ist:$$\vec n = \begin{pmatrix} f_x\\ f_y\\ -1\end{pmatrix}$$Wobei $f_x$ und $f_y$ die 1.Ableitung von $f$ nach $x$ bzw. $y$ ist. Also in diesem konkreten Fall:$$\vec n =\begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac xz\\ \frac yz\\ -1\end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix} x\\ y\\ -z\end{pmatrix}$$Die Tangentialebene ist genau dann parallel zur Geraden $G$ wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf $\vec n$ steht - d.h. das Skalarprodukt der beiden muss $=0$ sein:$$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \vec n = x+y = 0$$

Das trifft auf alle Punkt des Hyperboloiden zu, die in der Ebene $y=-x$ liegen. Es ist also eine Hyperbel im Raum. Formal sähe das so:$$\mathbb L = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3:\space z=\sqrt{1+2x^2},\, y=-x\}$$statt $z=\sqrt{1+2x^2}$ könnte man auch $z^2-2x^2=1,\space z\gt 0$ schreiben.

Gruß Werner

Comments

Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen (Differentialgleichung Anwendungsbeispiel: Hookesche Gesetz). Mit und ohne Zahlen eingesetzt.

Wäre nett, wenn du mir weiterhelfen könntest

---

Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen (Differentialgleichung Anwendungsbeispiel: Hookesche Gesetz).

Tschakabumba hat Dir doch schon vor drei Tagen geantwortet. Wozu genau hast Du noch Fragen?

Tipp: gib doch bitte beim nächsten Mal gleich den Link auf Deine Frage mit an. Das erspart die Sucherei!

---

https://www.mathelounge.de/862217/bestimmung-schwingungsgleichung-sk…

Answer 2

Hallo,

die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion $z=f(x,y)$ im Punkt $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ ist gegeben durch das Taylorpolynom erster Ordnung .

Mit $f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}$ ergibt sich also:$$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$ Diese Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$. Die Tangentialebene ist parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Gerade steht. Ineinander liegen können die beiden nicht, weil die Gerade in der x-y-Ebene lebt, wohingegen $f(x,y)\geq 1$ für alle $(x,y)\in \mathbb{R}^2$.

Es muss also $$\left \langle \vec{n},\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}\right \rangle =f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)=0 \Leftrightarrow f_x(x_0,y_0)=-f_y(x_0,y_0)$$ gelten, d. h.:$$\frac{x_0}{\sqrt{1+x_0^2+y_0^2}}=-\frac{y_0}{\sqrt{1+x_0^2+y_0^2}} \Leftrightarrow x_0=-y_0$$