+3 Daumen
1,2k Aufrufe

Aufgabe:

$$ 4^x + 6^x = 9^x $$


Problem/Ansatz:

Das habe ich unter dem Motto "Can you solve this?" gefunden.

Ich dreh mich da irgendwie im Kreis. Meine erste Idee war, erstmal die Basen "naturalisieren", so in etwa:

$$ \mathrm{e}^{x \cdot \ln 4}+\mathrm{e}^{x \cdot \ln 6}=\mathrm{e}^{x \cdot \ln 9} $$

Sieht schick aus, aber wahrscheinlich hab ich da ein Brett vorm Kopf. Dann dachte ich mir, probierst du es mal andersrum, erst irgendeinen Logarithmus drauf werfen:

$$ \log_{*}({4^x}+{6^x})=\log_*(9^x) $$

Ich hab mich am Ende immer im Kreis gedreht. Jedes Mal bleibe ich bei

$$ \log_*(u + v) $$

kleben, und dafür gibt es ja keine Regel. Mag mich wer über meine Verständnis-Mauer werfen? Klar habe ich gesehen, dass 4 = 2 * 2, 6 = 2 * 3, 9 = 3 * 3, vielleicht liegt in dieser speziellen Aufgabe ja da das Geheimnis, sprich: ich gucke an nen völlig falschen Platz? Irgendwie fehlt mir da eine Grundrechenart ^^ Potenz -> Multiplikation, Multiplikation -> Addition, Addition -> ?? :D

Als stino Schülerin kann ich mir das Desktop-Maple nicht leisten, und Handy-Maple sagt: "numerische Lösung: 1,18....."

`8-O ??

... im Ernst, wer braucht die Wahnsinns-Regel

$$ \log_*(1 + x) = \log_* 1 + \log_*(1 + x) $$

Avatar von

Benutze die dritte binomische Formel und erhalte x =  ln(φ) / ln(2/3)

PS : as Weg ist kürzer.

Boah, kannst du mir das mal bisschen ausführlicher hinschreiben?

Also, ich mache sowas wie

(1) \( 6^x = 9^x - 4^x \land s \text{:\kern-.2em=}{1\over 2}x \)

(1.1) \( 6^{2s} = 9^{2s} - 4^{2s} \)

(1.2) \( 6^{2s} = (9^s + 4^s)(9^s - 4^s) \)

Bis dahin gefällt mir das schonmal, auch wenn ich erstens keine Ahnung habe, wo es hin geht und zweitens schon gar nicht, woher das φ auf einmal kommt in der Antwort ^^.

Manchmal, wenn sie mucken, nenne ich unsere Katzen ja auch φcher, aber ich schätze, du bist φsiker:in? Ihr schnoddert ja gerne mal was hin und nennt es "trivial" :-P

Och, bitte, bitte, Leute, so irre schwer kann das nicht sein, helft mir, ihr seid doch toll! =)

*maunz*

__________

Τεχ? Sounds Klingon!

φ ist die positive der beiden Lösungen der Gleichung   x^2 + x - 1  =  0

Für die negative (-Φ) gilt  Φ = φ+1 = 1/φ.

Namenspatron ist Fibonacci.

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Teile die Gleichung durch 4^x.

Nutze, dass 2,25=1,5^2 ist und demzufolge 2,25^x=1,5^2 ^x ist.

Avatar von 55 k 🚀

Och, im Ernst jetzt... Woah, wie viele 1000 Gleichungen und Zeug muss man schon im Leben hinter sich gebracht haben, dass man sowas direkt sieht? 8-0

Danke auf jeden Fall!

___________________

Τεχ? Sounds Klingon!

Ich versuche einmal abakus' geniale Idee umzusetzen.

\(4^x + 6^x = 9^x \)

\(1+1,5^x=(1,5^x)^2\qquad| u=1,5^x\)

\(u^2-u-1=0\)

\(u_{12}=0,5\pm\sqrt{1,25}\)

\(u=0,5+\sqrt{1,25}\)   Negative Lösung entfällt.

\(1,5^x=0,5+\sqrt{1,25}\)

...

\( x \approx 1.18681 \)

:-)

+1 Daumen

Bei Potenzgleichungen ist es oft ein Ziel die Potenzen irgendwie auf eine gleiche Basis oder den gleichen Exponenten zu bringen. Dazu kann man ein wenig mit den Zahlen jonglieren.

Man könnte sich ja mal überlegen die Basen der Potenzen auch anders zu schreiben

4^x + 6^x = 9^x
(2*2)^x + (2*3)^x = (3*3)^x

So bekommt man jetzt leicht eine Idee, dass man nun durch 4^x oder durch 9^x teilen könnte.

(2/3*2/3)^x + (2/3)^x = 1
(2/3)^(2x) + (2/3)^x = 1

Avatar von 487 k 🚀
So bekommt man jetzt leicht eine Idee, dass man nun durch 4x oder durch 9x teilen könnte.

Man kann sogar durch 6^x teilen und erhält (2/3)^x+1=(3/2)^x.

Eine Substitution liefert z+1=1/z, was dann ebenfalls auf eine qu. Gl. führt.

@abacus:

Wielange hast du für diese Idee gebraucht? Hast du das sofort gesehen

oder rumgeknobelt, ahnend, dass es anders gehen muss/kann?

Ich habe erst einmal nur durch 4^x geteilt, um wenigstens eine der drei Potenzen loszuwerden. Nur das war zielgerichtet.

Erst als ich die entstandenen Basen 1,5 und 2,25 gesehen habe fiel mir eher zufällig auf, dass eine davon das Quadrat der anderen ist.


Oder meinst du mit "diese Idee" das zuletzt erwähnte Teilen durch 6^x?

Nein, ich meinte den ganzen Ansatz.

Glückwunsch und Respekt! :)

Viele meiner Schüler machen immer wieder den Fehler und versuchen die Aufgabe durch reines Ansehen zu Lösen.

Teilweise hört man dann hier im Forum die Aussage ich habe jetzt über 3 Stunden probiert die Aufgabe zu lösen komme aber nicht weiter. Oftmals ist dort nicht mehr gemacht worden als die Aufgabe 3 Stunden anzusehen.

Auch den berühmten Mathematikern wie Newton, Leibniz etc. ist manche Aufgabe oder Beweise nicht gleich auf Anhieb gelungen. Aber sie haben tatsächlich angefachen zu Probieren. Also probert man wie abakus einfach mal was passiert wenn man mal durch 4^x teilt.

Man probiert einfach mal irgendetwas und schaut was passiert. Dann setzt der Lernprozess ein, denn dann hat man ein unbekanntes Problem Plötzlich auf ein bekanntes Problem zurückgeführt.

Schön, das freut mich ja, dass ihr euch alle so prima unterhaltet. Ich steig dann mal aus aus eurem Geplauder. Danke auch, bis dahin, aber auch nicht weiter... =( Prima, dass viele deiner Schüler... wahrscheinlich für dein Feingefühl keine dummen kleinen 16-jährigen Mädchen, die sollen an den Herd... Lass dich feiern...

Und sorry fürs Auftauchen hier, ich möchte die virile Community hier nicht weiter belästigen. Warum? Nun, das ist wirklich trivial.

Ich steig dann mal aus aus eurem Geplauder.

Wie du meinst. Sicher ist die Lösung irgendwie "naheliegend", aber offenbar nicht für jeden, denn ich bin auch nicht drauf gekommen! :-)

Doch wie auch immer: Schöne Aufgabe!

+1 Daumen

Gewöhnlich kann man solche Gleichungen algebraisch nicht lösen außer in Spezialfällen .

Daher verwendet man ein Näherungsverfahren oder grafische Lösungen.

Nur Profis kommen in Spezialfällen auf andere Möglichkeiten, die man sehen muss.

Dazu bedarf es einiger Erfahrung und eines Zahlengefühls.

abacus ist Profi/ Lehrer, soweit ich weiß.

Avatar von 81 k 🚀

Nein, abakus ist entweder jemand, der mich auf seine Webseite für Geld ziehen will, wenn er sowas hat, oder er ist ein aufgeblasenes Arschloch. Mit garantiert irre viel Wissen, und das ist ja auch toll, aber auch mit einer Eingebildetheit, mit der ich nix mehr zu tun haben will.

Ich finde es richtig und wichtig, und drum war ich ja auch hier und nicht bei "wer-macht-meine-hausaufgaben.de", dass man motiviert. Falls es noch nicht aufgefallen ist, ich habe gerade Schulferien, mich interessiert das, ich mag mich weiter bilden, ich mag mich anstrengen, ich will was lernen, ne? Freiwillig, ne? Weil es mein Hirn stimuliert, ne? Aber Abakus sonnt sich lieber in dem Applaus von irgendwelchen Adepten. Dass Mädchen ein Hirn haben, ist ihm bestimmt suspekt.

Ich will was lernen, nicht Lehrern applaudieren. Das sollte für normal gestaltete Menschen trivial sein. Leider scheint das aber eher gerade online eher nicht so zu funktionieren.

Für manche Meister bin ich halt ein nerviges kleines Mädchen, das fragt und nicht bloß klatscht und putzt. Und das ist nicht trivial, sondern scheiße.

Macht es gut, ich hab die Lösung immer noch nicht gefunden, aber ich will euch auch nicht weiter stören. Ich geh mal das Klo hier putzen.

(nur so nebenbei, weil ich sowas ja liebe... ich behalte ein auge hier drauf, wie insbesondere junge mädchen ohne akademischen titel, ohne abi, ohne deutschen pass, ohne biodeutsche eltern hier behandelt werden... es gibt ja ne menge medien, die solche themen sehr lieben, und ich füttere sie so gerne damit! ^^ iund damit das jetzt nicht nach verdacht rüber kommt, nee. ich wollte am anfang wirklich nur sowas wie nen mentor haben, der mir erklärt, wie man diese kleine aufgabe rechnet...)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community