Moin MatheERSTI,
was genau möchtest du da vorgerechnet haben? Wie man auf die Funktion \(g(x)\) kommt? Wieso \( g(-1) > 0 \) und \(g(-0.5) < 0\) gilt?
Wie komme ich auf \(g(x)\)?
Die Aufgabe ist es, zu zeigen, dass es ein \(P \in (-1, -\frac{1}{2})\) mit \(f(P) = f(P+\frac{1}{2})\) gibt.
Man kann die Aufgabe auch umschreiben zu
Zeigen Sie, dass es ein \(P \in (-1, -\frac{1}{2})\) mit \(f(P) - f(P+\frac{1}{2}) = 0\) gibt.
Die Funktion auf der linken Seite bezeichnen wir nun mit \(g(P)\), deshalb die Schreibweise
\(g(P) := f(P) - f(P + \frac{1}{2})\).
Dann lautet die Aufgabe
Zeigen Sie, dass es ein \(P \in (-1, -\frac{1}{2})\) mit \(g(P) = 0\) gibt. Anders ausgedrückt sollen wir nun zeigen, dass die Funktion \(g\) im Intervall \((-1, -\frac{1}{2})\) eine Nullstelle hat. Da \(f\) stetig ist, ist \(g\) als Komposition stetiger Funktionen auch wieder stetig.
Stetig heißt vereinfacht und bildlich gesagt, dass man eine Funktion zeichnen kann, ohne den Stift absetzen zu müssen.
Wieso gilt \( g(-1) > 0 \) und \(g(-0.5) < 0\)?
Es ist \(f(P) = (e^P - 1)(P+1)\), also ist
\(g(P) = (e^P - 1)(P+1) - (e^{P + \frac{1}{2}}-1)(P+\frac{3}{2})\)
Setze nun für \(P\) jeweils \(-1\) und \(-\frac{1}{2}\) ein, dann kommst du auf \(g(-1) > 0\) und \(g(-\frac{1}{2}) < 0\).
Nun musst du den von racine_carrée genannten Nullstellensatz von Bolzano anwenden. Dieser besagt nämlich, wenn wir eine stetige Funktion auf einem Intervall betrachten, wobei sich das Vorzeichen dieser Funktion im Intervall irgendwann verändert, dann MUSS diese Funktion die \(x\)-Achse schneiden.
Wenn du es bildlich brauchst, zeichne dir ein Koordinatensystem und setze unterhalb der \(x\)-Achse einen Punkt \(A\) und oberhalb der \(x\)-Achse einen Punkt \(B\). Nun verbinde die beiden Punkte ohne den Stift dabei abzusetzen. Du wirst feststellen, dass du immer die \(x\)-Achse schneiden musst, um zum anderen Punkt zu gelangen. Es wird also immer einen \(x\)-Wert geben, sodass deine gezeichnete Funktion \(h(x)\) an dieser Stelle gleich null ist, also einen Nullpunkt hat.
Dies wendest du auf deine Funktion \(g(P)\) an und schon hast du die Aussage bewiesen.
