Lokale Minima/Maxima bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei f ∶ ℝ/{−1, 1} → ℝ mit f(x) = \( \frac{x^2+1}{x^2-1} \)

(1) Nullstellen, lokale Minima/Maxima von f bestimmen

(2) \( \lim\limits_{x\to\infty} \)f(x) \( \lim\limits_{x→1,x>1}\)f(x) bestimmen

(3) Skizze des Graphen von f erstellen

Problem/Ansatz:

Zur (1) hätte ich diese Lösung: da x²+1 ≠ 0, also keine Nullstelle. Aber zur Minima und Maxima wüsste ich nicht wie ich das berechnen muss. Bzw wie ich den Bruch umformen muss, um die Werte zu bestimmen. Und wie bestimme ich dann die Lim? Brauche ich dafür die Minima und Maxima?

Answer 1

Deine 1.Ableitung kann gekürzt werden zu

f1 = - 4 x / ( x^2 -1 ) ^2

Für eine Extremstelle gilt
f1 = 0 ( keine Steigung )

Ein Bruch wird dann 0 wenn der Zähler null wird
- 4 x = 0
x = 0

f ( 0 ) = ( 0^2 + 1 ) / ( 0^2 -1 ) = -1
E ( 0 | -1 )

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x geht gegen +- ∞

f = ( x^2 + 1 ) / ( x^2 - 1 )

wenn x gegen +- ∞ geht spielt die 1 keine Rolle mehr
es kann vereinfacht werden zu

f = x^2  / x^2  = 1

Im Unendlichen geht die Funktion gegen 1

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Frage nach bis alle deine Fragen beantwortet sind.

mfg Georg

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

Wie hast du f1 gekürzt?

Zur (2) ich muss da den Lim x gegen 1 bestimmen. Muss ich dafür dann das x durch eine 1 ersetzen und dann berechnen? Also so? \( \frac{1^2+1}{1^2-1} \) oder was wird da verlangt? Und wenn verlangt wird x>1 wie bestimme ich dann da den lim?

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f = ( x^2 + 1 ) / ( x^2 - 1 )
x = 1
f = ( 1^2 + 1 ) / ( 1^2 - 1 )
f = 2 / 0
Nicht definiert. Division durch 0

Grenzwert von links
lim x -> 1(-) = 0.9999..
x^2 - 1 = (0.9999..)^2 - 1 = 0(-)
f = ( 2 / ( 0(-) = minus ∞

Grenzwert von rechts
lim x -> 1(+) = 1.000..1
x^2 - 1 = (1.000..1)^2 - 1 = 0(+)
f = ( 2 / ( 0(+) = plus ∞

Vergleiche den Graph

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mit lim x -> 1, x > 0
ist wohl der rechtseitige Grenzwert 1(+)
gemeint

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Die 1.Ableitung wurde mit einem Matheprogramm berechnet und dürfte somit
stimmen.

Die Umformungen lauten

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Dankeschön für deine Hilfe!

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Gern geschehen.

Answer 2

Schau Dir zuerst die Kurve mit den beiden Polstellen an:

Comments

Wäre die Polstelle bei x=1?

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...und die zweite bei x = -1

Setze diese Werte jeweils in die Funktion ein und schaue, was passiert: Division durch Null.

Answer 3

Hallo,

Zur (1) hätte ich diese Lösung: da x^2+1 ≠ 0, also keine Nullstelle → das stimmt

Aber zur Minima und Maxima wüsste ich nicht wie ich das berechnen muss.

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!119:Extremstellen_berechnen

mit Beispiel:

Lösung zur Kontrolle:

Extrema Maximum im Punkt \( (0 \mid-1) \)

Comments

Dann müsste ich mit der Quotientenregel das rausbekommen:

f‘(x) = \( \frac{(x^2 + 1 * x^2 -1) - (x^2 + 1 * x^2 -1)}{(x2 -1)^2} \)

Aber jetzt hängt es hier schon, ich weiß nicht wie ich dann weiter rechnen muss bzw. was ich rechnen muss?

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ich habe Dir einen Link geschickt, da ist das Ganze an einem Beispiel beschríeben.

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Leider hilft mir da das Beispiel nicht :(

Ich hab versucht die Aufgabe daran anzuwenden. Hab also die f(x) abgeleitet und dann hätte ich die auf 0 setzen müssen, was bei mir 0 rauskommt

Und das Beispiel hat auch keinen Bruch, das macht es mir dann schwer es für einen Bruch zu berechnen

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Hallo,

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Vielen vielen Dank! Ich habe ein sehr schlechtes Verständnis bei solchen Matheaufgaben und da helfen mir solche detaillierte Rechenschritte am meisten, damit ich nachvollziehen kann wie etwas entsteht. Das hat mir sehr geholfen!!

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ja , darum mache ich das ja und gern :)