Grenzwert: lim(x(ln(1+sqrt(x^2+1))-ln(x))) x→unendlich

Question

Grenzwert:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x(\ln (1+\sqrt{x^{2}+1})-\ln x) \)

Mein Ansatz hierfür ist l'Hôpital. Dafür sei a = 1/x

lim ln(1+sqrt(1/a^2+1)) - ln(1/a)     (a->0)
                                   a

Wenn ich allerdings dann mit l'Hôpital weiter mache rechne ich endlos weiter. Mach ich vielleicht etwas falsch oder ist mein Ansatz sowieso absurd? Was kann ich da besser machen?

Answer 1

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x(\ln (1+\sqrt{x^{2}+1})-\ln x) \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x(-\log (x)+\log (1+\sqrt{1+x^{2}})) \)
\( =\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{\log (1+\sqrt{1+\frac{1}{t^{2}}})-\log \left(\frac{1}{t}\right)}{t} \)
\( =\lim \limits_{t \rightarrow 0} \sqrt{1+\frac{1}{t^{2}}} t \)
\( =\lim \limits_{t \rightarrow 0} \sqrt{\frac{1+t^{2}}{t}} \)
\( =\lim \limits_{t \rightarrow 0} \sqrt{\frac{1+t^{2}}{t^{2}}} \)
\( =\sqrt{\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{1+t^{2}}{t^{2}}}=1 \)

Zwischenschritte/Umformungen:

Comments

Warum wurde die Variable von x nach t geändert? Hat das einen bestimmten Grund oder ist das eigentlich egal?

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Sommersonne: Da wurde substituiert.

Siehst du auch daran, dass sich die Grenze ändert.

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Jetzt macht die ganze Rechnung auch mehr Sinn. Woher weiß ich denn, wie sich die Grenzen in einer solchen Situation ändern?

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Es wurde x = 1/t ersetzt.

Damit x gegen unendlich geht, muss t gegen 0 gehen. Zudem sollte aber t>0 sein.

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Danke für die Begründung! Jetzt kann ich die Rechnung nachvollziehen.