Folge gegeben, c_2 und c_3 berechnen, Konvergenz schlussfolgern

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge (c_n) mit c₁ = 1 und c_n+1 = \( \frac{1}{2} \)(c_n + \( \frac{2}{c_n} \))

(a) c₂ und c₃ berechnen

(b) Zeigen, dass c_n für alle n≥2 durch \( \sqrt{2} \) von unten beschränkt und monoton fallend

(c) Daraus Konvergenz schlussfolgern und zeigen, dass \( \lim\limits_{x\to\infty} \) c_n=\( \sqrt{2} \)

Problem/Ansatz:

Wie muss man hier vorgehen, um c₂ und c₃ zu berechnen? Einfügen oder muss ich erst noch die Folge umformen? Und wie muss man das für die (b) und (c) machen?

Answer 1

(b1)  Stelle zunächst fest, dass \(c_n>0\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

(b2)  Für alle \(n>0\) gilt$$c_{n+1}^2-2=\frac14\left(c_n+\frac2{c_n}\right)^2-2=\frac14\left(c_n-\frac2{c_n}\right)^2\ge0.$$Nach (b1) folgt daraus, dass \(c_n\ge\sqrt2\) für alle \(n>1\) ist.

(b3)  Für alle \(n>1\) gilt nach (b1) und (b2)$$c_n-c_{n+1}=c_n-\frac12\left(c_n+\frac2{c_n}\right)=\frac1{2c_n}\left(c_n^2-2\right)\ge0.$$Die Folge ist also monoton fallend für \(n>1\).

(c)  Nach (b2) und (b3) (d.h. die Folge ist für \(n>1\) nach unten beschränkt und monoton fallend) ist die Folge konvergent. Der Grenzwert \(c\) berechnet sich aus$$c=\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}c_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(c_n+\frac2{c_n}\right)=\frac c2+\frac1c.$$Es folgt \(c^2=2\). Wegen (b1) ist der gesuchte Grenzwert also wie behauptet gleich \(\sqrt2\).

Comments

Vielen vielen Dank für die Antwort!

Answer 2

c₁ = 1 und c_n+1 = \( \frac{1}{2} \)(c_n + \( \frac{2}{c_n} \))

Einfach immer den letzten Folgenwert einsetzen:

c₂=\( \frac{1}{2} \)(1 + \( \frac{2}{1} \))=3/2=1,5

c₃=\( \frac{1}{2} \)(1,5 + \( \frac{2}{1,5} \))=17/12≈1,41667

c₄=577/408≈1,41422

c₅=665857/470832≈1,41421

:-)

Comments

Wie kann man das dann für die (b) und (c) anwenden? Oder ist diese Lösung von (a) unabhängig davon?

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Oh und müsste es dann nicht so sein?

c₁= \( \frac{1}{2} \)(1 + \( \frac{2}{1} \)) = 1,5

c₂= \( \frac{1}{2} \)(1,5 + \( \frac{2}{1,5} \)) = 1,416

c₃= \( \frac{1}{2} \)(1,4 + \( \frac{2}{1,4} \)) = 1,414

Weil c₁=1?

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So viele Fehler in so wenigen Zeilen!

c₁ wird mit 1,5 berechnet, ein paar Zeilen später steht im Widerspruch zu diesem Ergebnis

Weil c₁=1

Es kann nicht gleichzeitig 1,5  und 1 sein.

Ganz schlimm wird es eine Zeile tiefer. Statt des richtigen Ergebnisses 17/12 wird für c₂ der Rundungswert 1,416 angegeben.

Wenn man denkt "Schlimmer geht es nicht" - Irrtum!

Eine Zeile später wird statt des schon nicht korrekten Rundungswertes 1,416 für c₂ bei der Berechnung von c₃ der noch stärker gerundete c₂-Wert 1,4 verwendet.

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Beim Index hast du alles um 1 verschoben.

Die gerundete Dezimaldarstellung finde ich hier schon sinnvoll. Allerdings sollten die Zahlen dann nicht mal auf eine Stelle gerundet und dann wieder mit drei Nachkommastellen angegeben werden.

Und rechnen solltest du mit den genauen Werten, also mit den Brüchen, die abakus erwähnt hat.

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Wenn man denkt "Schlimmer geht es nicht" - Irrtum!

Ich bin eben nicht der beste in diesem Themenbereich, muss man ja nicht gleich so fies sein :(

Ich habe nur nicht verstanden, warum man bei c₂ mit der 1 rechnet, wenn es eigentlich heißt, dass c₁=1 ist und man dann mit dem Wert, der rauskommt, weiterrechnet

Also wie ist es dann jetzt richtig? Dass man bei c₂ mit der 1,5 rechnet oder wie?

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Also wie ist es dann jetzt richtig? Dass man bei c2 mit der 1,5 rechnet oder wie?

So, wie ich es in meiner Antwort geschrieben habe.

Für n=1 ist ja n+1=2.

Also ist c_n+1=c₂ und c_n=c₁=1.

Das musst du jetzt in die gegebene Formel einsetzen.