Die rekursiv definierte Folge sei gegeben durch …

Question

Die rekursiv definierte Folge $$(a_{n})_{n}$$ sei gegeben durch

$$a_{1}=\sqrt{2}$$, $$a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$$

$$(n\in \mathbb{N})$$.

1. Zeigen Sie, dass 0< $$a_{n}$$ <2 für alle  $$n\in \mathbb{N}$$ ist.

2. Zeigen Sie, dass die Folge $$(a_{n})_{n}$$  streng monoton wachsend ist.

3. Folgern Sie, dass die Folge $$(a_{n})_{n}$$ konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Answer 1

Zu 1: vollständige Induktion.

Zu 2: Zeige \( \sqrt{2-a_n} \)>a_n

Zu 3: Jede nach oben beschränkte, monoton wachsende Folge hat einen Grenzwert: Hier 2.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge:$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad;\quad a_1\coloneqq\sqrt2$$

zu a) Zu zeigen: \(0<a_n<2\)

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion. Wegen \(0<a_1=\sqrt2<2\) ist die Verankerung bei \(n=1\) klar. Im Induktionsschritt von von \(n\) auf \((n+1)\) können wir daher nun \(0<a_n<2\) voraussetzen:$$0<a_n<2\implies2<2+a_n<4\implies\sqrt2<\sqrt{2+a_n}<2\implies\sqrt2<a_{n+1}<2$$Wegen \(\sqrt2\le a_1<2\) gilt also sogar die strengere Abschätzung: \(\sqrt2\le a_n<2\).

zu b) Wie bilden die Differenz zweier hintereinander liegender Folgenglieder:$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\sqrt{2+a_n}-a_n)\pink{(\sqrt{2+a_n}+a_n)}}{\pink{(\sqrt{2+a_n}+a_n)}}=\frac{\left(\sqrt{2+a_n}\right)^2-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(2+a_n)-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{(1+a_n)(2-a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}>0$$Wegen \(\sqrt2\le a_n<2\) sind beide Faktoren im Zähler positiv. Da auch der Nenner positiv ist, ist die Differenz \(a_{n+1}-a_n>0\) bzw. \(a_{n+1}>a_n\).

Die Folge \((a_n)\) ist daher streng monoton wachsend.

zu c) Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Daher besitzt auch \((a_n)\) einen Grenzwert \(a\), den wir wie folgt ermitteln:$$a=\sqrt{2+a}\implies a^2=2+a\implies a^2-a-2=0\implies (a-2)(a+1)=0\implies a=2$$Der mögliche Wert \(a=-1\) scheidet aus, das ja alle \(a_n\ge\sqrt2\) sind.