Gerade gegeben Koeffizient gesucht sodass a1x + a2y = 1

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade \( G=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3 \\ -2\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R} \quad\right\} \)

Bestimmen Sie Werte für die Koeffizienten a₁ = , a₂ = , so dass

\( G=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mid a_{1} x+a_{2} y=1\right\} \)

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich das? Ich habe angefangen die x-Komponente zu berechnen, habe also 3 + (-4) = -1 gerechnet, dann die y-Komponente -2 + 3 = 1, also soll a₁ * -1 + a₂ * 1 = 1 sein? Ich habe dann für a₁ = 1 und für a₂ = 2

wäre ja dann -1 + 2 = 1 und somit das Ergebnis, in der Lösung stehen leider ganz andere Werte und ich weiß nicht wieso.

Bitte also um eure Hilfe

Answer 1

Komponentengleichungen

x=3 - 4λ

y= - 2 +3λ

λ eliminieren:

3x =9 - 12λ

4y= - 8 +12λ

__________

3x+4y=1

Answer 2

Deine gegebene Gerade enthält z.B. den Punkt (3|-2). Also müssen a_1 und a_2 so gewählt werden, dass

$$3a_1-2a_2=1$$ gilt. Ein weiterer Geradenpunkt (mit λ=1 ermittelt) ist (-1|1). Also muss auch $$-a_1+a_2=1$$ gelten.

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist $$a_1=3, \;a_2=4$$.