Ok, jetzt stelle ich mir aber die Frage, wieso man "-A" ausrechnet?
Das ist vermutlich eine Zwischenrechnung, um das charakteristische Polynom \(p(x)=\det(xI-A)\) zu berechnen. Das Ergebnis ist \(p(x)=x^3+x^2+3\). Nun soll \(p\) in Linearfaktoren zerlegt werden, um die Eigenwerte zu ermitteln. Dafür kommen in der Tat die Teiler des Absolutglieds von \(p\) (also die Zahl ohne x) in Frage. In einem Körper (wie auch \(\mathbb F_5\) einer ist), sind das aber außer der Null alle Körperelemente. Hier gibt es nur fünf Elemente, die am besten einfach nacheinander für \(x\) in \(p(x)\) eingesetzt werden. Man erhält:
\(p(0)=3\\p(1)=0\longrightarrow\text{Treffer}\\p(2)=0\longrightarrow\text{Treffer}\\p(3)=4\\p(4)=3.\)
Damit hat man bereits zwei Eigenwerte gefunden. Einer davon muss ein doppelter sein. Welcher das ist, kann z.B. per Polynomdivision ermittelt werden. \(p\) ist ohne Rest teilbar durch \(x-1\), sowie \(x-2\), also auch durch
\((x-1)\cdot(x-2)=x^2-3x+2=x^2+2x+2\).
Alternativ kannst du natürlich auch durch \(x-1=x+4\) und das Resultat durch \(x-2=x+3\) teilen.
Das Ergebnis ist \(x-1\). Damit ist der dritte (und letzte) Linearfaktor gefunden und es ist
\(p(x)=(x-1)^2\cdot(x-2)=(x+4)^2\cdot(x+3)\).
Bemerkung1: Ob du mit \(x-1\) oder \(x+4\), etc. rechnest, bleibt dir überlassen. In \(\mathbb F_5\) macht das keinen Unterschied.
Bemerkung 2: Der dritte Eigenwert lässt sich auch ohne Polynomdivision ermitteln. Die Summe aller Eigenwerte ist die Spur der Matrix. Damit kann man den dritten Eigenwert leicht berechnen, wenn zwei davon bereits bekannt sind.
