Aloha :)
Wir überlegen uns zuerst, wie wir die Punkte der Schnittfläche \(F\) parametrisieren können. Ein Punkt \((x;y;z)\in F\) muss alle Bedingungen von \(Z\) und \(E\) zugleich erfüllen:$$x^2+y^2\le4\quad;\quad 0\le z\le4\quad;\quad z=1+\frac x2$$Die Bedingung für \(E\) schränkt die Werte für \(x\) ein, denn:$$0\le z\le4\implies0\le1+\frac x2\le4\implies-1\le\frac x2\le 3\implies -2\le x\le6$$Weiter sind die Werte für \(x\) eingeschränkt durch:$$x^2+y^2\le4\implies x^2\le4-y^2\implies x^2\le4\implies-2\le x\le2$$Daher können wir die Fläche \(F\) in Polarkoordinaten wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\1+\frac x2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\1+\frac r2\cos\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Zur Bestimmung des Oberflächenintegrals benötigen wir noch das Flächenelement:$$d\vec o=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\frac 12\cos\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-\frac r2\sin\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec o}=\begin{pmatrix}-\frac r2\sin^2\varphi-\frac r2\cos^2\varphi\\-\frac r2\sin\varphi\cos\varphi+\frac r2\sin\varphi\cos\varphi\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}-\frac r2\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}\frac r2\,dr\,d\varphi$$Der Betrag des Flächenelementes ist daher:$$do=\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}\cdot\frac r2\,dr\,d\varphi=\frac{\sqrt5}{2}\,r\,dr\,d\varphi$$
Nun haben wir alle Informationen gesammelt:
$$I=\int\limits_F z\,do=\int\limits_{r=0}^{2}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(1+\frac r2\cos\varphi\right)\frac{\sqrt5}{2}\,r\,dr\,d\varphi=\frac{\sqrt5}{2}\int\limits_{r=0}^{2}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r+\frac {r^2}2\cos\varphi\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\frac{\sqrt5}{2}\int\limits_{r=0}^{2}\left[r\varphi+\frac {r^2}2\sin\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}dr=\frac{\sqrt5}{2}\int\limits_{r=0}^{2}2\pi r\,dr=\frac{\sqrt5}{2}\left[\pi\,r^2\right]_{r=0}^2=2\sqrt5\,\pi$$
