Kurvendiskussion bei Exponentialfunktion

Question

Das ist die Aufgabe und ich komme wirklich nicht damit klar. ich brauche dringend Hilfe.

Text erkannt:

Aufgabenstellung:
Die Funktion \( f \) ist gegeben durch die Gleichung
\( f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot e^{-x}, x \in \mathbb{R} . \)
Der Graph von \( f \) ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung
Aufgabe A1: GK
a) (1) Begründen Sie, dass \( x=1 \) die einzige Nullstelle von \( f \) ist.
(2) Zeigen Sie: \( f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot e^{-x} \).
(3) Untersuchen Sie f rechnerisch auf lokale Extremstellen.
[Kontrolllösung: An der Stelle \( x=2 \) liegt eine lokale Maximalstelle vor.]
(4) Ermitteln Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) gilt: \( f(x)<0,1 \).

Comments

hallo,

ich wollte fragen ob es möglich ist, dass du mir diese abitur klausur als vollständige klausur schicken kannst, da ich diese im unterricht bearbeitet hatte, aber ich die Klausur, in der Schule gelassen hab. Es wäre sehr freundlich wenn du die zu "nizarsaeed3108@g m a i l.c om" schicken könntest ich wäre dir dankbar.

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hallo,

ich wollte fragen ob es möglich ist, dass du mir diese abitur klausur als vollständige klausur schicken kannst, da ich diese im unterricht bearbeitet hatte, aber ich die Klausur, in der Schule gelassen hab. Es wäre sehr freundlich wenn du die zu meiner email schicken könntest ich wäre dir dankbar.

diese lautet nizarsaeed3108@ g m a i l . c o m (ohne die abstände)

Answer 1

1) ist sehr einfach. Die Funktion besteht aus einem Produkt. Wenn du die Funktion Null setzt, kannst du gemäß dem Satz vom Nullprodukt die Faktoren einzeln betrachten. Nur der Faktor (x-1) kann null werden und tut dies für x=1.

Comments

Kannst du einmal Nummer eins vor rechnen? Ich verstehe das noch nicht ganz.

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a) 10(x-1) e^(-x)=0

----->Satz vom Nullprodukt

1)  10(x-1)= 0 |:10

x-1=0 |+1

x=1

2) e^(-x)=0

e^(-x) kann nicht Null werden

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Was schreibe ich dann als Begründung auf.

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Gemäß dem Satz vom Nullprodukt kann nur der Faktor x-1=0 werden.

Also ist x=1.

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Wie lassen sich jetzt die Extremstellen errechnen?

Answer 2

1) Satz vom Nullprodukt: nur x-1 kann Null werden

-> x-1=0

x=1

2) Produktregel und Faktorregel

u= x-1 -> u' = 1

v= e^-x -> v= -e^-x

-> 10*[1*e^-x+(x-1)*(-e^-x)] = 10*e^-x(1-x+1) = 10*e^-x(2-x)

Comments

Nummer zwei habe ich genauso gemacht und es war richtig. Und wie kann ich jetzt die E Funktion nochmal ableiten von f‘ ? Ich möchte ja die Extremstellen errechnen.

Answer 3

Hallo,

............................

Comments

Und was ist dann mit der 10 am Anfang?

Answer 4

(1)

Es muss gelten

10·(x - 1)·e^(-x) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss ein Faktor Null sein.

Die Faktoren 10 und e^(-x) sind nie Null also

x - 1 = 0 → x = 1 ist die einzige Nullstelle

(2)

f(x) = 10·(x - 1)·e^(-x)

f'(x) = 10·((1)·e^(-x) + (x - 1)·(-1)·e^(-x)) = 10·e^(-x)·(2 - x)

(3)

f'(x) = 10·e^(-x)·(2 - x) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist hier die einzige Nullstelle x = 2 mit Vorzeichenwechsel von + nach - und damit ein Hochpunkt.

(4)

10·(2 - x)·e^(-x) = 0.1
Mit einem Näherungsverfahren erhält man
x = 1.027953390
x = 6.266544606

Also für etwa x <= 1.027 oder x >= 6.267 gilt x < 0.1